关于电梯共振问题中动力学原理理论分析

【摘 要】电梯质量好坏的重要指标是根据电梯的外观、电梯运行时的舒适感以及故障率的高低等决定。当电梯振动达到一定的幅值时，振动频率在人的敏感频带，此时，乘客就会有明显的不适感，所以电梯振动是评价电梯整机性能质量的重要指标。这对电梯振动现象，我们建立了模型1：轿厢和曳引绳系统模型，对该系统通过解析方法和数值模拟两种方法研究分析，得出，不论是空载或是满载，系统的固有频率ω0是随着曳引绳的长度L变化而变化的，且从数学角度发现，固有频率ω0与绳长L之间是一种非线性函数关系。在第一个模型基础上，我们建立了一个更接近实际情况的三自由度的电梯系统模型2，通过邓克莱法，求解得出系统基频ω1与轿厢绳长L2、对重绳长L3，及轿厢质量m2之间的函数关系，并通过单变量分析，得出三者对系统振动的具体影响。

【关键词】电梯共振；固有频率；数学模型；邓克莱法

通常，评价电梯质量好坏的重要指标是根据电梯的外观、电梯运行时的舒适感以及故障率的高低等决定。其中，用户用来衡量电梯厂家产品档次的一个重要指标便是电梯运行时给人的舒适感。在正常情况下，用户乘坐电梯的时间并不长，在相对短暂的时间里电梯的振动幅值也比较小，用户也不会有明显的感官感受。但是，当电梯振动达到一定的幅值时，振动频率在人的敏感频带，此时，乘客就会有明显的不适感。所以说，评价电梯整机性能质量的综合指标是电梯的振动。假如说评价电梯质量的必要条件是电梯安全设施的可靠性，那么评价电梯质量的充分条件便是电梯的振动。

理论分析与建模。

电梯在运行过程中，其自身结构系统会形成一个弹性系统，具有自身的固有振动频率。而曳引机为振源，在电梯运行时，会产生激振频率，当两者的频率相等或接近时，系统便会发生共振现象。电梯振动系统分为曳引机和承重梁系统以及轿厢和曳引绳（和承重梁）系统，其中任何一方的同有频率与曳引机的激振频率一致时，都会使电梯系统发生共振现象。

1.模型的假设

我们只讨论轿厢和曳引绳（和承重梁）系统造成的电梯振动，所以建立数学模型之前，我们需要做一些合理的假设（对具体不同的模型根据需要会补充假设）：

①假设所讨论电梯系统中机械和电器方面都处于理想状态，即这两方面不会引起电梯的振动。

②假设电梯处于匀速上升或下降状态中，不考虑启动加速和停止减速状态。

③假设电梯系统中一些电器和次要机械部件的质量忽略不计或等效在模型的其他结构质量上。

④假设采用某种电梯进行分析，由于电梯型号不同，分析结果可能会有不同程度的偏差。电梯运行系统实物模型如下图1所示：

2.不计承重梁的模型建立

轿厢由柔软的钢丝绳牵挂，组成一个做上下往复运动的弹性系统。补充假设：承重梁在电梯运行过程中不发生形变弯曲，不发生振动现象。曳引绳系统可认为是弹簧，轿厢对系统可认为是惯性元件的振动体，如下图2所示：

由数值模拟可以看出，系统的固有频率ω0是随着曳引绳的长度L变化而变化的，不论是空载或是满载。我们已经得出，曳引机的激振频率ω=24.41Hz，当系统固有频率ω0在随绳长L变化接近或等于24.41Hz时，系统产生振动。

当轿厢空载时M=1150kg，轿厢距离楼顶（假设曳引机架设在楼顶）50-60米时，电梯系统产生共振，振动明显。

当轿厢满载时M=2150kg，轿厢距离楼顶25-35米时，电梯系统产生共振，振动明显。

假设轿厢及载重质量之和在1150-2150kg之间连续变化，则理论上在轿厢距离楼顶25-60米某处时，电梯系统都可能产生共振，振动感明显。

3.计承重梁（即轿厢、承重梁和曳引绳系统）

在模型1中，我们所建立的系统没有将承重梁考虑进去，但我们知道，承重梁在重力的作用下，承重梁产生静变形。承重梁相当于预应力作用下的静止弹簧，其静挠度相当于弹簧的静伸长。建立电梯振动模型如图4所示：

下面我们分析该模型振动的数学原理：

图4中，m1为承重梁质量和固定其上的曳引机质量之和（等效看作承重梁的质量），m2为轿厢和其上载重的质量（等效看作轿厢的质量），m3为对重的质量。结合承重梁的约束条件和受力情况，n根承重梁等效抗弯刚度设为k1：

上述方程（8）过于复杂，我们可以对其进行合理简化，由于我们只需要得出系统固有频率ω与绳长L之间的函数关系，在此不需要极为精确的结果，而且经过计算，我们可以看出，m1、m2、m3很相近，所以在此，令m1=m2=m=m，则上式可以简化为：

由（11）得出了当电梯在运行（匀速）过程中，系统基频ω1与轿厢绳长L和对重绳长L之间的函数关系。

当系统固有频率ω1 （L1，L2）函数值在随轿厢绳长和对重绳长（L1，L2 ）变化过程中，落入外界激振频率ω=ω*，ω*∈[c1，c2]范围时，即可能与某一激振频率值ω*接近或相等，这时电梯系统将发生共振现在，电梯振动感明显。由于系统固有频率ω1（L1，L2）随轿厢绳长和对重绳长（L1，L2）变化，所以可以明显感到电梯振动（系统产生共振现象），是间断性的，并不是整过电梯运行过程都有。

系统固有频率ω1（L1，L2）与系统中所涉及的质量（m1承重梁质量和固定其上的曳引机质量之和，m2轿厢和其上载重的质量（等效看作轿厢的质量），m3对重的质量）有关。而且一般m1和m3是固定不变的，所以系统固有频率ω1（L1，L2）与系统中轿厢（及其载重）质量m2有关。即同一个电梯，在轿厢（及其载重）质量不变的情况下，电梯振动剧烈的楼层（位置）是固定的，轿厢（及其载重）质量变化时，振动的楼层（位置）会发生相应的改变。（例如：某一电梯从一楼上升，载重5个人300kg时，在4楼和8楼电梯发生共振；而载重8个人500kg时，电梯发生共振的位置不在是4楼和8楼，可能是其他楼层。

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