利用“数学工具”探索数学问题解决教学模式初探

摘要：问题解决是数学课程培养的核心素养之一。从中职生的数学学习特点出发，充分挖掘数学工具辅助学生解决数学问题的作用，探索问题解决教学模式的主要特征、教学程序及评价方法等。

关键词：教学模式；问题解决；数学工具

中图分类号：G712 文献标志码：A 文章编号：1673-9094-（2017）02/03C-0018-04

“数学工具”指数学教学过程中，为更好地促进并达成学习目标所采用的工具，主要指数学软件或数学辞典等。本课题指几何画板、计算器、EXCEI等较为普及的数学教学软件。这些教学软件具有强大的计算、作图、列表、动画、演示等功能。“在讲抽象的概念之前，运用计算机和数学软件的计算、演示、模拟功能，让学生自己去分析、发现其中的规律，在真正讲授抽象概念时，就不会感到突然。在讲述定理时，也可以参照这个办法。在计算机的帮助下，可以将以往繁重的、手工不能实现的计算变得轻松起来……这样就可以将实际问题引进课堂，让学生体会数学的实际价值”。研究证明，数学工具可以弥补学生抽象思维能力的不足，让他们在动手实践的过程中理解知识、应用知识，从而促进他们利用数学工具进行计算、思维和应用的能力。据此，笔者尝试在中等职业学校开展利用数学工具的教学，并根据中职生的认知特点和教学规律，构建起问题解决教学模式。

一、数学工具辅助学生问题解决学习的可能性

问题解决教学的教育价值在于培养学生学会观察、分类、概括、归纳、一般化、特殊化、分析解决问题的思维能力，运用原有的知识和经验解决新的陌生的问题。《中等职业学校数学课程标准》明确指出：“培养学生运用计算器、计算机进行计算的能力……学会分析问题、解决问题的问题解决的能力”。新的课标要求充分明确数学工具的功能与价值。我们不能再简单满足于用几何画板研制个别课例，或将计算器、EXCEL的部分操作案例仅仅作为教材的附录加以介绍，而需要利用数学工具引导中职生开展问题解决教学，并逐步构建有效的教学模式。

中职生大部分是怕学数学的，具体表现在“认知障碍、记忆障碍、阅读障碍、运算障碍”等方面的困难，一部分学生“多动、分心、固执、笨拙、冲动、孤僻”的行为特征也不利于学好数学。心理学家沃纳认为“处于这种状态的学生，往往在数学学习方面表现出审题能力差，抽象思维能力薄弱，空间认知能力低，记忆力低，导致的运算障碍等”。针对这样的学生“在学力补救中，将教学方式结构化（从个别教学到小组教学），使学生大量体验自我表达及和别人进行问答的习惯”。

问题解决学习具有在教学方式结构化的情境中开展学习的特点。问题解决学习起源于20世纪50年代美国的医学教育。它的原型基本特征有五个方面：（1）将学生分组；（2）组内对问题进行研究和讨论学习；（3）学生进行自我指导；（4）再次集合汇报各自学习心得，并处理问题；（5）学生对自己的工作进行自评和组评。通过问题解决对数学知识形成深刻的、结构化的理解，形成问题解决的技能，发展自主学习能力。问题解决是贯穿学习始终的核心，主要特征包括目的指向性；心理过程的一系列操作序列为了达到某种终结状态，而采用的认知操作过程。

同时，我们也应该警惕问题教学在实践中的不足，“忽略操作的作用而总是保持在语言水平上，特别在数学教育中这是一个严重的错误……操作和数学实验远非阻碍了演绎思想的后期发展，事实上它组成了一个必要的准备”[5]。因此使用数学工具是为了达到目的而选择的操作手段，是认知操作过程的一部分，是认知操作手段的延伸和拓展，是进行问题解决学习不可或缺的工具。数学工具在辅助问题解决学习中具有以下特点：第一，形象性。借助数学工具可以形象地展示数学概念、规律。第二，实时性。数学工具可以随时根据学习的需要展示数学对象。第三，替代性。数学工具可以替代中职生开展计算、作图、制表等工作。

二、中职生使用数学工具进行数学问题解决学习的基本程序

“数学问题解决教学是通过创设问题情境，激发学生的求知欲望，使学生亲身体验和感受分析问题、解决问题的全过程。它强调使用数学的意识，培养学生的探索精神、合作意识和实际操作能力。”运用数学工具进行问题解决教学程序包括以下六个环节。

（一）基于问题解决的教学设计

问题解决在问题空间中进行搜索，由一定的情景引起的，按照一定的目标，应用各种认知活动、技能等，经过一系列的思维操作，使问}得以解决的过程。问题的设计是整个教学过程的关键。所提出的问题既要激发学生的学习兴趣，又要包括即将学习的数学知识，且能引导学生自主探究不断深入。关于问题的设计流程如下图：

图1 问题的设计流程图

（二）数学知识的应用准备

数学知识包括数学的概念、公式、定理、运算方法等。此处的知识传授，有别于传统的教学模式，通过反复训练，强化知识认知。这样的模式固然强化了基础，然而却牺牲了学生的问题意识、创造思维和应用能力的培养。本模式则强调通过问题的引导，教师指导学生经过查找、思维等过程，亲身体会知识产生的过程，这样的学习具有灵活性和可变通性。

（三）建立问题解决数学模型

数学模型（Mathematical Model）是将现实问题归结为相应的数学问题，并在此基础上利用数学的概念、方法和理论进行深入的分析和研究，从而从定性或定量的角度来刻画实际问题，并为解决现实问题提供精确的数据或可靠的指导。通常用字母、数字及其它数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图像、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构表达式。建立数学模型就是沟通现实问题和数学知识、数学工具的必要途径。

（四）确定数学工具和操作路径

当建立在数学知识基础之上的数学模型一经确立，解决这个模型对应的问题，需要学生寻找合适的数学工具。如模型是二次函数最值问题，可以选择几何画板中的作图工具，很容易地获得结果。而无需运用二次函数图像法求最值或配方法求最值，因为这些方法对于多数中职生是难以理解的，更无从运用它们解决问题。借助工具，不仅可以帮助学生克服因解决数学模型带来的思维障碍，更可以帮助学生顺利地发展建模思维。

（五）反思小结

对整个问题解决过程进行梳理，凝缩问题点、确定知识点、熟悉工具操作路径，体会数学模型的建立思路。总之，这个过程是对整个问题解决过程的提炼和升华。

（六）反馈提升

这个环节是在反思小结的基础上，通过问题点的变化，使学生独立地运用前面的思路体验解决问题的全过程，巩固问题解决的思维方法，熟悉学习过的数学知识及数学工具的操作路径，提升学生解决问题的能力。

综上所述，基于利用数学工具进行问题解决教学程序，立足于问题的设置，创生出问题，引导出新知，构建出数学模型，借助数学工具加以解决，触及了让数学基础薄弱（运算能力薄弱，数学技巧等不足）的中职生，如何达到数学学习的最高境界――问题解决的目标。

三、中职数学问题解决教学模式的实现条件

（一）教师

首先，坚持有效教学的观念，让中职生真正学到数学。现行的中职数学教学内容是以数学概念、公式、定理为依托，按照逻辑推演的方式呈现出来，符合数学自身的逻辑结构。然而，中职生难以掌握。作为中职校的数学教师理应树立有效教学的理念，根据中职生的实际，教授他们能够学习的数学。

其次，努力提升数学工具的操作能力。作为现代化教学手段之一的几何画板、计算器、EXCEL等数学工具是现代人工作、生活必需的工具之一，更是中职生数学学习的重要平台。作为中等职业学校的数学老师提高自身的操作能力，有利于灵活、有效地指导学生运用工具解决数学的问题。

再次，熟悉问题情境教学方法。问题设计需要具有创生新知识和运用数学工具的取向。教学过程中要尊重学生的主体地位，引导学生能自己探究的问题，则尽量放手让其尝试，特别是数学工具的操作，指导学生不断尝试，以达到解决问题的目的。

（二）教学环境

教学模式依托数学工具改造数学内容，借助计算机房或计算器等工具进行教学。

第一，合理的分组。问题解决学习不是个人能够完成的行为，需要借助小组的力量。所以问题解决教学首先应对学生进行分组，按照学生的认知水平合理搭配小组成员。每组都安排有学习能力较强的组长和组织能力较强的组长两名。

第二，借助数学工具改造数学内容。目前，大多数中职校使用的数学教材是省统编教材，省统编教材主要采用以知识为主的逻辑体系编制，按照学生的认知规律呈现，已经具有教学功能。但教材中的知识点有所减少，如：函数的周期性判断、单调性判断；有些知识已经被删除，如：复数、函数最值问题。这样，使得现有的中职数学教材存在知识体系不完整的情况，不利于学生数学素养的培养和数学认知能力的形成。另外，现有的数学知识系统在讲授的过程中，仍然存在由于学生的数学基础薄弱，导致学习效率降低。

数学“工具性”教学模式则需要利用数学工具改造数学解题过程。

例如：画函数f（x）=■+1的图像。

解： 打开几何画板 点击 定义坐标系

右击 新建函数 点击函数选中 确定

输入（3-2x2）+1 确定右击函数f（x）=■+1

点击绘制函数。即可得到函数f（x）=■+1的图像。

这样的例题表述方式不同于纯粹的数理推理。降低数学推理过程给学生带来的难度，从而提高数学学习兴趣和学习效益。

第三，中职学校数学工具教学的条件分析。一个机房，一天可以容纳4-8个班级的数学课，5个机房一天可以容纳20-40节数学课教学，操作教学模式所使用的教学工具不仅仅是数学软件，还要使用计算器、对数表等非计算机房的计算工具，一个学年的数学课程，一所中等规模的中等专业学校基本可以满足实用数学课程教学的要求；同时；还不影响技能训练的正常进行。此外，江苏省中等职业学校数学教材都配有计算器，可以保证操作教学模式的教学需要。

（三）学生

操作教学模式是尊重学生主体的模式，它要求教师相信学生能够借助工具解Q问题，只需提供过程中的指导和传授适当的知识及工具的操作方法。这种模式和传统的教学模式一样，都要求学生有较强的自主意识和积极主动参与的热情。由于这种模式侧重于动手操作，顺应了中职生感性思维优于理性思维的特点，更能在形式上让中职生接受。实践表明，得到大多数学生的欢迎。

然而，这种模式在实践中仍面临许多困难，需要我们进一步厘清思路，改进实践。

第一，数学教学观的冲突。传统的数学教学观认为，数学就是通过应用数学公式、定理和方法进行逻辑演绎的科学，借助数学工具进行操作的教学不是数学教学。持有这种观念的教师，首先忽略了中职生就是传统数学教学观的失败者，中职数学教育不能再让他们饱尝这种失败感，而是要将他们从这种失败感中解救出来。其次，数学工具是学习现代科技必不可少的工具，掌握这些工具是现代人必需的技能，中职生也不例外。

第二，这种模式并不适用于所有教学内容。任何教学模式都不会适用于一切内容。对于概念性较强的内容并不适用。如集合的概念，适合传统的教学模式，不宜运用数学工具。所有的概念教学，可以借助工具帮助理解，但不能被工具替代。

第三，“工具性”教学模式较大地改变课时的分配。如三角函数一章，传统的教学需要18学时，操作教学模式由于可以借助工具操作得出任何三角函数的图像，因而函数的所有性质及问题则迎刃而解，导致教学课时只需要6学时，可以极大地提高教学效率。教学中可以增加应用性问题的学习，提高学生数学化地建立模型，并借助工具进行解决问题的能力。