时间:2022-05-06 10:49:19
江苏金湖教师进修学校211600
摘要:本文将数学题中的隐含条件从多方位、多角度进行分析,并将其隐含条件运用到实际例题中,使题目难度降低,同时还就怎样挖掘题目的隐含条件提出了行之有效的解决方法.
关键词:挖掘隐含条件;解决数学难题;方法
在某些数学命题的题设中,已知条件或欲求结论可能隐含某些信息,或在解题过程中所得到的结论也隐含有大小关系、取值范围等,我们称之为“隐含条件”. 学生在解题时往往会忽视隐含条件,造成解题错误,或者认为题目缺少条件而束手无策. 本文就怎样挖掘题中的隐含条件,捕捉解题的“蛛丝马迹”,谈一些我的个人意见.
[⇩]挖掘定值
数学问题中的条件有的隐含在有关概念、知识及已知条件之中,含而不露,稍不留心便导致解题出错. 如某些字母初看似乎是一个变量,但经过分析推断才发现该字母是常数;另外有些已知条件中隐含着定值,这就需要我们去挖掘.
例1已知函数f(x)=ax2+bx+c,有f(-1)=0,且对任意x∈R都有x≤f(x)≤(x2+1)成立,求函数f(x)的表达式.
解析由于对任意x∈R都有x≤f(x)≤(x2+1)成立,令x=1得f(1)=1,这就是题目隐含的定值,即有a+b+c=1;又f(-1)=0,即a-b+c=0. 联立得a+c=,b=,则f(x)=ax2+x+-a,
又f(x)≥x恒成立,即ax2-x+-a≥0恒成立,
所以a>0,且Δ=
2-4a
-a≤0,
即a-
2≤0,故a=,b=,c=,所以f(x)= x2+x+.
例2ABC的三边a,b,c和面积S满足关系S=c2-(a-b)2,且a+b=2,求面积S的最大值.
解析由三角形面积公式S=absinC,这里角C似乎是一个变量,事实上,由于S=c2-(a-b)2,由面积公式及余弦定理知:absinC=a2+b2-2abcosC-(a-b)2,
所以2ab(1-cosC)=absinC;
所以=,
故tan=,
可得sinC===.
又因为a+b=2,
所以S=absinC=ab≤
2=,当且仅当a=b=1时,Smax=.
[⇩]挖掘定点
学生在解决部分解析几何题时感觉入手容易,但要完整解答却困难重重. 除基本功不扎实外,其中一个重要原因是他们没有挖掘出题中的隐含条件. 其中直线过定点就是一个值得注意的隐含条件.
例3 已知直线l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4与椭圆C:4x2+25y2=100,试证当m∈R时直线l与椭圆C必有两个公共点.
证明直线l即x+y-4+m(2x+y-7)=0,由于m∈R,要使此式恒成立,只须有x+y-4=0且2x+y-7=0,将二方程联立,解得x=3,y=1,即直线l恒过定点(3,1),由于4×32+25×12=61<100,即点(3,1)在椭圆内部,故直线与椭圆必有两个公共点.
例4设A和B为抛物线y2=4px(p>0)上原点以外的两个动点,已知OAOB,OMAB,求点M的轨迹方程,并说明它表示什么曲线.
解析设A(x1,y1)、B(x2,y2),则x1=,x2=,由OAOB得・=-1,
即・+y1y2=0,
所以y1y2=-16p2,
又因为A,B在抛物线y2=4px上,故y=4px1,y=4px2,二式相减得(y1+y2)(y1-y2)=4p(x1-x2),
所以直线AB的斜率为kAB==,故直线AB的方程为y-y1=・x-
,即y=x+y1-=・x+=(x-4p)(将y1y2=-16p2代入),故直线AB恒过定点Q(4p,0),设M(x,y),由于OMAB即OMMQ,故M的轨迹为以OQ为直径的圆,其轨迹方程为(x-2p)2+y2=4p2(x≠0).
[⇩]挖掘相等关系
有些数学题中隐含着等式关系,它提示了该类数学问题的本质,挖掘出这些等式关系,就是我们解答此类问题的切入点.
例5设f(x)=,则和式f
+f
+f
+…+f
的值是多少?
解析由f(x)= ,f(1-x)=,故f(x)+f(1-x)=1(配对等式关系),易得所求值为500.
例6已知tanα是方程x2+2xsecα+1=0的两个根中较小的根,求α的值.
解析观察一元二次方程的常数项为1,又tanα是方程x2+2xsecα+1=0的较小根,则方程的较大根是cotα(挖掘出等式tanα・cotα=1),
由于tanα+cotα=-2secα,
即=-,
所以sinα=-,
得α=2kπ+或α=2kπ-(k∈Z),
当α=2kπ+(k∈Z)时,
tanα=,cotα=;
当α=2kπ-(k∈Z)时,
tanα=-,cotα=-不合题意,
所以α=2kπ+(k∈Z).
[⇩]挖掘代数题中的几何背景
许多代数问题比较抽象,运算繁杂,若能挖掘出他们的几何特征,通过分析直观图形,容易找到解题的切入点.
例7已知函数f(x)=|x-b|+2在[0,+∞)上为增函数,则实数a,b的取值范围是 .
解析当a>0时,函数y=ax+2的图象如图1所示,而函数f(x)=ax-b+2是由y=ax+2左右平移得到的,若要f(x)在[0,+∞)为增函数,则需让y=ax+2向左平移或不移,则b≤0;当a0,b≤0.
[y][x][2][O][y=ax+2]
图1
例8设函数f(x)=-ax(a>0),解不等式f(x)≤1.
[O]
图2
解析不等式可变形为≤ax+1,令y=,
则y2-x2=1(y>0),又令y=ax+1,因此所求代数问题就变为直线l:y=ax+1,位于双曲线C:y2-x2=1上方时x的取值范围,这就是解题的切入点. 由于双曲线的一条渐近线的斜率为1,且直线l过双曲线顶点(0,1),根据图形直观分析知,当0
,当a≥1时,不等式解集为{x|x≥0}.
[⇩]挖掘取值范围
要充分注意题设中给出概念的限制条件和变化范围,以及解题过程中得到的结论所隐含的取值范围,并适时利用,能减少解题中的失误.
例9已知sinθ,sin2x,cosθ成等差数列,sinθ,sinx,cosθ成等比数列,则cos2x的值为()
A. B.
C. D.
解析sinθ+cosθ=2sin2x,sinθ・cosθ=sin2x,由此两式消去θ得4cos22x-cos2x-2=0,则有cos2x=,又由于sin2x=sinθcosθ≤,从而cos2x=1-2sin2x≥0,故可排除答案B,C,D. 即应选A.
例10 二次函数f(x)=ax2+bx+1(a>0,b∈R),设方程f(x)=x有两个实根x1,x2,如果x1
证明设g(x)=f(x)-x=ax2+(b-1)・x+1(a>0),由条件x1
g(4)>0,
所以4a+2b-1
16a+4b-3>0,
所以-4a
即2a-
所以x0=->=1->1-= -1,所以x0>-1.
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