时间：2022-05-06 08:00:08
遇到比较困难的问题，我们怎样寻求突破口，并尽力探寻出问题的本源呢？下面问题的解决思路或许能给你一些启发.
例如，函数f（x）=sinx-13-2cosx-2sinx（0≤x≤2π） 的值域是（ ）.
A.[-22，0] B.[-1，0]
C.[-2，0]D.[-3，0]
初看这题不好下手.于是，有的学生想到用导数这一攻无不克的“利器”.
解法1：
f′（x）=
cosx3-2cosx-2sinx-（sinx-1）123-2cosx-2sinx（2sinx-2cosx）3-2cosx-2sinx
=2cosx-1-cos2x-sinxcosx+sinx（3-2cosx-2sinx）32
=（1-cosx）（-1+sinx+cosx）（3-2cosx-2sinx）32
由f′（x）=0，解得x=2kπ或x=π2+2kπ，k∈Z.
当x∈2kπ，π2+2kπ时，f′（x）>0，f（x）单调递增；
当x∈π2+2kπ，2π+2kπ时，f′（x）>0，f（x）单调递减.
所以当x=2kπ时，fmin（x）=f（2kπ）=-1；
当x=π2+2kπ时，fmax（x）=fπ2+2kπ=0.
所以，f（x）∈[-1，0].
看到所求出的导数，我们能够感觉到，这恐怕不是本题的合理解法.或者说并非命题人的本意.作为选择题，我们不妨试试特殊解法.
解法2：由已知函数f（x）=sinx-13-2cosx-2sinx（0≤x≤2π）.
令sinx=0，cosx=1.得f（x）=-1.
可排除A.
再令f（x）=-2.
两边平方整理得，cosx=6-（sinx+1）24.
当sinx=-1时，cosx=32，不合题意.
可以排除C，D.
这一解法比较特殊，令f（x）=-2也不容易想到.若不是选择题，这一方法便不能用了.有没有一般性简便解法呢？
观察到函数式带根号，去根号！
解法3：f（x）=-（sinx-1）23-2sinx-2cosx .
研究t=（sinx-1）23-2cosx-2sinx的值域，由t=（sinx-1）2（sinx-1）2+（cosx-1）2，分子不小于0、分母恒大于0，t关于x是连续不间断的，分子不大于分母，且cosx=1时t=1，sinx=1时t=0，得t∈[0，1].
这里，求解函数t的值域的方法并不直接.
我们有必要分析的是，这么复杂的一个函数求值域问题，其函数是如何构造出来的呢？
重新观察原函数，f（x）=sinx-13-2cosx-2sinx
=-|sinx-1|3-2sinx-2cosx.
是否可以看出，它很像一个公式？
是的，很像点到直线的距离公式d=|Ax0+by0+c|A2+B2！哪个点？哪条直线呢？仔细比较两个式子，动手试一试.
解法4：先看另一个问题.如图1，已知：点P（1，0），直线l：（sinθ-1）x+（cosθ-1）y=0，求点P到直线l的距离.
解：d=|sinθ-1|（sinθ-1）2+（cosθ-1）2=|sinθ-1|3-2sinθ-2cosθ.
看清楚了么？
图1那个复杂的函数式是从这里来的，这应该就是本题问题的本源所在.
这样，由原来问题的几何意义，我们只要求出点P到直线l的距离的范围就可以了.
直线l过原点，斜率范围是（-∞，0]，能比较方便地求出结果.
在学习过程中，如果我们不是简单地就题解题，而是努力探寻、挖掘出问题的本源，学习势必事半功倍！