正互反矩阵在层次分析法中的运用

摘 要：该文给出了正互反矩阵相关定义结论，通过层次分析法的简单介绍指出正互反矩阵在其中的运用。

关键词：正互反矩阵 层次分析法 排序

中图分类号：N94 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2014）05（c）-0241-02

1 正互反矩阵相关定义、结论

定义1 设阶矩阵，如果满足以下条件：

（）

（）

则称矩阵为阶正互反矩阵.

根据定义1，显然可以推出当时。

定义2 对于阶正互反矩阵，有，则称矩阵为一致性正互反矩阵。

定义3 对于正互反矩阵，若随机一致性比率CR

定理1 设是正互反矩阵，若的最大特征根，则矩阵是一致性正互反矩阵。（其证明可参见参考文献1）

2 层次分析法

20世纪70年代，美国匹兹堡大学教授沙丁（T.L.Saaty）提出了层次分析法（Analytic Hierarchy Process简称AHP），此方法是一种将定性分析与定量分析相结合的多目标决策分析方法，在应用上具有系统性、实用性、适应性、实用性的优点，因此是一种使用比较广泛的方法。层次分析法不仅在应用上可信、灵活而且实用，它在理论上也存在原理简单、结构层次明确、理论基础扎实的优点，容易掌握和使用。但层次分析法也存在一定的缺陷：例如判断矩阵的确定主观因素比重较大，有时不够精；一致性检验和调整要反复多次进行，直到获得满意的一致性准等。虽然层次分析法存在一定的缺陷，但还是在选址问题、环境问题、安全问题等多领域得到应用。

总之，对于层次分析法来说，把定性和定量分析相结合是其最大的特点，它按照分解、比较判断综合的思维方式进行决策的系统分析，是一种实用性强，而且简洁有效的方法。其解决问题的基本步骤是：

第一步：明确问题

首先，对所要研究的问题进行判断是否符合层次分析法的特征，能否应用层次分析法进行系统分析，确定问题所包含的各种因素及其之间的关系。

第二步：建立层次结构模型

经过调查、研究、分析，将相关的各个因素按照一定的分类属性从上到下分成几个层次排列，在同一层次中的各个因素对自身上层因素具有一定的影响或从属于上一层因素，同时又受到各自的下一层因素的作用或支配下一层的因素。一般而言最高层作为目标层，通常只有一个因素，它表示所要解决问题应达到的目的；中间层可有一个或几个层次，通常为准则或指标层；而最低层通常作为方案或措施层，表示解决问题的措施或方案。

第三步：构造判断矩阵

构造判断矩阵是从层次结构第二层次开始，用1―9比较尺度构造对于从属于（或影响）上一层每个因素的同一层诸因素的比较阵，也就是判断矩阵，直到最低层。具体过程如下：

若上一层次用表示，其下一层次有、、三个影响因素，则由此构造成判断矩阵为三阶矩阵，形式如表1所示。

其中表示对而言，对相对重要性的比较数值，数值是由1～9数字及其倒数组成，含义见表2所示。

第四步：层次单排序及一致性检验

此步骤是对上一步骤中建立的判断矩阵计算特征根和特征向量。具体方法是首先计算满足的判断矩阵的最大特征根，其次求得最大特征根对应得特征向量，此特征向量即为本层次中各个因素的重要性次序的排序权值。

对于n阶判断矩阵，可由其最大特征根是否等于来检验判断矩阵是否一致性。

3 结语

通过对正互反矩阵及层次分析法解决问题步骤各方面的介绍我们知道：（1）层次分析法的第三个步骤中用1―9比较尺度构造判断矩阵，构造此判断矩阵就是构造一个正互反矩阵；（2）第四步骤层次单排序，并做一致性检验是进行层次分析法的关键步骤――排序。排序的结果就是对第三步骤中构造的正互反矩阵求解最大特征根及其特征向量，并考察CR取值是否小于0.1，进行一致性检验。在层次分析法中当正互反判断矩阵的一致性检验不合格，排序的结果可靠性就不强，故要对正互反判断矩阵取值进行适当调整，直至检验合格，具体调整的方法有很多在这里我就不多加分析了。

总之，正互反矩阵在层次分析法中得到了充分的运用，使得层次分析法能够以矩阵分析为基础，有了强有力的理论支持，使得学者方便进一步的研究与应用。

参考文献

[1] 张翠莲，何春江.正互反矩阵一致性的充要条件[J].华北航天工业学院学报，2001（1）.

[2] 王莲芬，许树柏.层次分析法引论[M].北京：中国人民大学出版社，1990.