齐次分式在三角函数中的应用

摘 要：齐次分式在三角函数的学习中应用广泛，本文作者根据多年教育经验，由实际例子来分析论述它在三角函数的三角求值中、证明三角恒等式时、三角化简中等应用时的具体方法。

关键词：齐次分式;三角函数;应用

每个单项式的次数都相同的式子称为齐次式；每个单项式都是n次的齐次式称为n次齐次式；分子、分母都是n次齐次式的分式称为n次齐次分式。在三角函数的学习中，我们经常会遇到由sinα和cosα构成的n次齐次式或n次齐次分式。

如： 、sin2α-cos2α等。

解决由sinα和cosα构成的n次齐次分式问题，一个重要方法就是将此n次齐次式的分子、分母都除以cosnα（cosnα≠0）转化为tannα来求。这种方法在三角函数的求值、化简、证明中有着广泛的应用。

一、在三角求值中的应用

例1 已知tanα=2，求（1） ，（2）sin2α-cos2α。

分析：此例主要考查同角三角函数基本关系式的应用,思路较多：（1）由同角三角函数基本关系式最基本的作用：sinα、cosα和tanα三者知其一可求其二，可以求出sinα,cosα，代入即可。但计算较多，且需要分象限讨论。（2）由tanα=2可得：sinα=2cosα，代入合并化简。但都不如将两式分别视为一次齐次分式和二次齐次分式，使用上面提到的方法化为tanα来求直接方便。

解：（1） = = = 。

（2）sin2α-cos2α= = = = = 。

点评：第（2）题的解法中使用“1=sin2α+cos2α”变形为分式，在二次齐次式中经常使用，如：2sinαcosα= 。

二、在证明三角恒等式时的应用

例2 证明sinα= , cosα= 。

分析：此题可将α视为 的倍角，则sinα=2sin cos = ，cosα=cos2 -sin2 = 。而1=sin2 +cos2 可化为二次齐次分式。

证明：

sinα=2sin cos = = = ，

cosα=cos2 -sin2 = = = 。

三、在三角化简中的应用

例3 求函数f（θ）= - ，θ∈（0, ）的最小值。

分析：此函数化简较难，但f（θ）= - = ,其中sinθ=2sin cos ,2=2（sin2 +cos2 ）,cosθ=cos2 -sin2 即可化为二次齐次分式。

解：f（θ）= - = =

= = （3tan + ）

因为θ∈（0, ）,所以 ∈（0, ）

令tan =t，t∈（0,1）

（3t+ )≥ ・2

当且仅当t=tan = 时，即θ= 时，f（θ）有最小值 。

（作者单位 安徽省繁昌一中）

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