由“杨辉三角”引发的思考

杨辉是我国古代最杰出的数学家之一，在他的著作《详解九章算术》里，记载着下面的表：

这个三角形被称为“杨辉三角”，是我国古代数学的研究成果之一，显示了我国古代劳动人民的卓越智慧和才能.

将上表写成数列的形式,即

1

1 1

1 2 1

1 33 1

1 4641

1 5 10 10 5 1

16 15 20 15 6 1

从整体来看，这些数组成了一个三角形.数字排列的规律是每行的第一个数和最后一个数都是1，其余的每个数为其上方左右两数之和；且第几行就有几个数.

其实，这些数还有另外一个规律，即第n行（n为正整数）对应着（a＋b）n的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数.如，第二行的两个数1，1，恰好对应着（a＋b）1＝a＋b展开式中的系数；第三行的三个数1，2，1，恰好对应着（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3展开式中的系数，等等.

通过上面的分析，同学们不难发现，看似简单的杨辉三角数表却隐藏着一定的规律.

由此，我们可以联想到一类数字规律探究问题，即根据已知条件或所提供的若干个数，通过观察、类比、归纳，发现其中蕴含的规律与特征的一类探究型问题.这类问题能够有效地培养同学们的逻辑推理能力、计算能力、归纳能力.

下面略举两例由“杨辉三角”演变而来的题目，供同学们参考.

例1观察数表

1

1 －1

1 －2 1

1－33－1

1 －46－41

1 －510A5－1

1 －615-2015－61

根据表中数的排列规律，则字母A所表示的数是 .

解析：通过观察，我们会发现本题的数表与“杨辉三角”十分相似，所不同的是部分数字变成了它们的相反数，所以无法运用“杨辉三角”的规律.如果单独从每一行来看会发现，从第二行开始，每行的数字之和等于0，问题即可得到解决了.所以1＋（－5）＋10＋A＋5＋（－1）＝0.故A＝－10.

例2将正整数按如图所示的规律排列下去

1………第1排

23………第2排

456…………第3排

78910…………第4排

若用有序实数对（n，m）表示第n排从左到右第m个数，如（4，3）表示的实数是9，则（7，2）表示的实数是 .

解析：本题中第几排就有几个数，而且整个数表中的数是从1开始按自然数的顺序排列的.因此，从第1排的第1个数起到第7排的第2个数共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋2＝23个数，即表示的实数是23.

万变不离其宗.无论题目的形式如何变化，只要同学们大胆地猜想、归纳、验证，一定会找到解题的突破口.

总之，在感受“杨辉三角”的睿智和美的同时，我们要善于思考和分析，从而提升自己的数学能力和修养.