用数列模型处理分期付款问题

遇到解决实际问题的题目，要仔细分析题意，理解问题的实际背景，理顺问题中各种数量之间的关系，联想归结为自己所熟悉的数学模型，将实际问题转化为数学问题；用所学过的数学知识去分析、解决问题，作出正确合理的解答. 解决分期付款问题，应注意以下几个方面：

①准确计算出在贷款全部付清时，各期所付款额的增值（注：最后一次付款没有利息）.

②明确各期所付的款额连同到最后一次付款时所生的本息之和，等于商品售价及从购买到最后一次付款时的本息之和. 只有掌握了这一点，才能顺利建立等量关系.

③掌握等比数列前ｎ项和的计算方法.

一、按复利计算的分期付款问题

例１ 某人计划年初向银行贷款１０万元用于买房. 他选择１０年期贷款，偿还贷款的方式为：分１０次等额归还，每年一次，并从借后次年年初开始归还. 若１０年期贷款的年利率为４％，且每年利息均按复利计算（即本年的利息计入次年的本金生息），则每年应还多少元？（精确到１元）

分析 解决这个问题我们首先要明确的是：如果不考虑其它因素，同等款额的钱在不同时期的价值是不同的. 比如说，现在的１０元钱，其价值应该大于１年后的１０元钱，原因在于：现在的１０元钱，在１年的时间内要产生利息.

在此基础上，这个问题，有两种解法：

解法１ 如果注意到按照贷款的规定，在贷款全部还清时，１０万元贷款的价值，与这个人还款的价值总额应该相等. 我们可以考虑把所有的款项都转化到同一时间（即贷款全部付清时）去计算.

１０万元，在１０年后（即贷款全部付清时）的价值为１０５（１＋４％）１０元.

设每年还款ｘ元.则第１次偿还的ｘ元，在贷款全部付清时的价值为ｘ（１＋４％）９；

第２次偿还的ｘ元，在贷款全部付清时的价值为ｘ（１＋４％）８；

……

第１０次偿还的ｘ元，在贷款全部付清时的价值为ｘ元. 于是：

１０５×（１＋４％）１０＝ｘ（１＋４％）９＋ｘ（１＋４％）８＋ｘ（１＋４％）７＋…＋ｘ.

由等比数列求和公式可得：１０５×１.０４１０＝×ｘ，其中１.０４１０＝（１＋０.０４）１０＝１＋１０×０.０４＋４５×０.０４２＋１２０×０.０４３＋２１０×０.０４４＋…≈１.４８０２.

所以， ｘ≈＝１２３３０.

解法２ 考虑这个人在每年还款后还欠银行多少钱. 仍然设每年还款ｘ元，则第一年还款后，欠银行的余额为［１０（１＋４％）－ｘ］元；

如果设第ｋ年还款后，欠银行的余额为ａｋ元，则ａｋ＝ａｋ－１（１＋４％）－ｘ.

不难得出：ａ１０＝１０５×（１＋４％）１０－ｘ（１＋４％）９－ｘ（１＋４％）８－ｘ（１＋４％）７－…－ｘ.

另一方面，按道理，第１０次还款后，这个人已经把贷款全部还清了，故有ａ１０＝０. 由此布列方程，得到同样的结果.

点评 存、贷款问题为典型的数列应用题，解决问题的关键在于：

①分清单利、复利（即等差与等比）；

②寻找好的切入点（如本题的两种不同的思考方法），恰当转化.

二、按单利计算的分期付款问题

例２ 老王购买一件售价为１万元的商品，采用分期付款的办法，每期付款数相同，购买后１个月付款一次，过１个月再付一次，如此下去，到第２４次付款后全部付清. 已知月利率为０.８％.如果每月利息按单利计算，那么每期应付款多少？（精确到１元）

分析 按单利计算，设每期应付款ｘ元，由于第１期付款ｘ元相当于购买商品时的元，第２期付款ｘ元相当于购买商品时的元，……第２４期付款ｘ元相当于购买商品时的元，所以２４期付款总数相当于购买商品时的＋＋＋…＋元，也就是商品的售价１０４元，易求得ｘ≈４５７.

点评 采用分期付款的办法，购买售价为ａ元的商品（或贷款ａ元）. 每期付款数相同，购买后１个月（或１年）付款一次，过１个月（或一年）再付一次，如此下去，到第n次付款后全部付清. 如果月（或年）利率为ｂ，那么每期应付款ｘ元满足下列关系:

按单利计息时，为

ｘ（＋＋＋…＋）＝ａ；

按复利计息时，为

ｘ［１＋（１＋ｂ）＋（１＋ｂ）２＋（１＋ｂ）３＋…＋（１＋ｂ）ｎ－１］＝ａ（１＋ｂ）ｎ，化简得

ｘ［（１＋ｂ）ｎ－１］＝ａｂ（１＋ｂ）ｎ.