一类面积最值问题解法探究

【摘 要】数学的特点之一就是它具有严密的系统性，数学的知识、思想、方法之间都有密切的内在联系。要理解和掌握数学的知识、思想和方法，不仅要理解和掌握数学的每一个知识、思想和方法，而且还要理解和掌握数学的知识、思想、方法之间的内在联系。那么善于总结归纳数学思想与方法是学好数学的必须。

【关键词】面积;抛物线;二次函数

本文以一道习题的多种解题方法出发，体会总结归纳数学思想方法对数学学习的好处。

问题：已知抛物线y=ax2+bx+c沿x轴向右平移2个单位后所得抛物线为y=ax2-4ax+4a+1，正方形ABCD的中心在坐标原点，其边分别平行于坐标轴，以O为圆心的圆在第二象限内与正方形ABCD相交于点P、Q，且P、Q在抛物线y=ax2+bx+c上。

（1）求a的取值范围;

（2）设AB交X轴于点E，若PEEC.求E、C两点的坐标;

（3）在（2）的条件下，设直线AC与y=ax2+bx+c相交于M、N，问在直线AC上方的抛物线y=ax2+bx+c上，是否存在一点T，使得MNT的面积最大？若存在求出最大面积，并指出此时T的坐标，若不存在，请说明理由。

考点：二次函数综合题

分析：（1）分析说理或论证均可。

（2）利用相似求出P、Q，坐标是关键。

（3）如何求面积最大值，利用代数或几何方法均可，这将是本文探究的重点。

解析：

（1）通过观察y=ax2-4ax+4a+1，不难发现y=a（x-2）2+1，将其沿x轴向左平移2个单位后就成了y=ax2+bx+c，故y=ax2+bx+c即为y=ax2+1。

方法一（叙述说理）

y=ax2+1的对称轴为y轴，经过P、Q两点

抛物线的开口必须向下

a<0

方法二（论述说理）

设P（xp，yp） Q（xQ，yQ），将其带入y=ax2+1得

yp=axP2+1，yQ=axQ2+1

axP2-axQ2=yp-yQ

a（xp+xQ）（xp-xQ）=yp-yQ

yp>yQ，，xp>xQ，xp<0，xQ<0

xp+xQ<0，xp-xQ：>0，yp-yQ>0

a= <0

（2）易知APE∽BEC，故有 = = ，设E点坐标为（x0，0），则P（ x0，-x0），根据HL知PHOE≌QEO，故Q（x0，- x0），将P，Q坐标代入y=ax2+1中得：

x +1=-x0ax +1=- x0解之得，x0=- ，a=-

E=（- ，0），C（ ，- ）

（3）方法一：几何法，利用与直线AB平行的直线当与抛物线有且只有一个交点时，MNT以MN为底边的高最大，从而面积最大。

由A（- ， ），C（ ，- ）得直线解析式y=-x，故由y=-x+by=- x2+1得 x2-x+b-1=0，由=0得b=

由 x2-x+ =0得x= ，T（ ， ）

方法二：几何法，将MNT如图分解成两个共底的三角形。

SMNT=SMST+SSNT= TS（h1+h2）= TS×GN

而GN长度一定，要使SMNT最大，则TS长度最大

设T（x1，- x +1），则S（x1，-x1）

故TS=TS=-- x +x1+1=- [（x1- ）2+ ]

当x1= 时TS最大，此时T（ ， ）

方法三：代数法，构建关于MNT的面积的二次函数是关键。

设T（x0，y0）

SMNT=S四边形MGNT-SMGN=（S梯形MGST+STSN）-SMGN

故应先求出M、N的坐标，从而得出以x0为自变量的S的二次函数，求出最值。

可见一题多解，就是对于同一问题，由于观察的角度不同、侧重点不同，运用知识的不同，思考方向和思维力度的不同，从而得到不同的解法。采用不同方法求解，是开拓学生思路，培养学生将已学知识融会贯通的一个重要途径，用多种方法解答同一道数学题，不仅能更牢固地掌握和运用所学知识，而且，通过一题多解，分析比较，寻找解题的最佳途径和方法，能够培养创造性思维能力。

（作者单位：湖北省宜昌市夷陵区分乡初中）