时间：2022-04-22 05:24:23
摘要：现行“轻负高质”的大形势下，教育要求我们教师要不断提高育人质量，在不加班加点的情况下，课堂教学的关键是高效率，而高效源于对课堂教学的不断反思、不断感悟、不断总结。本文主要从悟“整合”之道、悟“活动”之道、悟“变式”之道等三个方面探讨了如何提高常规数学课堂教学“高效”性的一些思考及体会。
关键词：课堂教学；悟道；高效
一、引言
从前，一学僧到法堂请示禅师：“我常常打坐，时时年经，早起早睡，心不杂念。我想在您座下没有一个人比我更用功了，可为什么还是无法开悟？”禅师拿了一个葫芦，一块盐，交给学僧说：“你去将葫芦装满水，再把盐倒进去，使它立刻溶化，你就会开悟了！” 学僧遵照指示去做，没多久，跑回来说道：“我把盐块装进葫芦，可它老不化；葫芦口太小了，伸进筷子也搅不动。我还是无法开悟。” 禅师拿过葫芦倒掉了一些水，然后只摇晃几下，盐块就溶化了。禅师慈祥地说道：“一天到晚用功，不细心观察生活，不留一些平常心，就如同装满水的葫芦，摇不动，搅不得，如何化盐，又如何开悟？”这是佛教故事《悟道之本》，故事说明僧人要“开悟”方能成为真正的大师，其实我们教师何尝不是这样呢？有些教师整天碌碌无为，学生一届一届走了，可自己的教学经验和课堂教学效率却没有随之增长。所以教师不断行“悟道”，课堂教学才会见“高效”。
那么，什么叫“悟道”，什么叫“高效”呢？本文提到的“悟道”，指的是：教师对自己参与的教学活动的回顾检验与认识，本质上是对教学的一种反省认知活动。教师以自己的实践过程为思考对象，在回放过程的基础上，对其中的成败得失及其原因进行思考，得到一定的能用以指导自己教学的理性认识，并形成更为合理的实践方案。“高效”指的是：以尽可能少的时间、精力和物力投入，取得尽可能好的教学效果。尽可能好的教学效果可以从以下两个方面来体现：一是效率的最大化，也就是在单位时间内学生的受益量；二是效益的最优化，也就是学生受教育教学影响的积极程度。概括为：轻负担，低消耗，全维度，高质量。数学教学中“悟道”和围棋高手的复盘同样重要，它是提高教学能力，提高教学效率的最有效、最直接、最快速的途径。
一、悟“整合”之道，见课堂高效
新课程理念强调，教学的过程是教师用材教的过程，而不是教教材的过程。叶圣陶说：“教材无非是个例子”，教材并不是教学的全部，教学也并不是紧紧盯着教材，惟教材是用。梁启超说，“变则通，通则久”，要远离本本主义，要与时俱进，要海纳百川，要融会贯通，把利于和符合教学目标的内容和手段等有效资源吸收、整合和运用到课堂教学中去。在教学实践过程中，要大胆改革，勇于创新，“百尺竿头更进一步”，要积极改进和推广先进的教学方法，激发和调动学生的积极性和求知欲，力求课堂高效。
“已知三角形ABC，过B点作AC边上的垂线”。
结果大半学生不能作出来。有些虽能作出，但错误百出（如错误（1），错误（2））。
美国心理学家波斯纳认为，没有反思的经验是狭隘的经验，至多只能是肤浅的知识，他提出了教师成长的公式：成长=经验+反思。教完新课后，分析这道作业题时，虽经过笔者的反复习提醒和层层铺垫，才算挽救回部分学生的“知道”，但总不是滋味。凭多年教学经验，学生在作业中出现的普遍错误必与教师在课堂中的授课质量有关。笔者回顾授课过程：先从生活中观察发现存在着大量的垂直情况，引入垂线的定义，用动画演示画垂线的过程，归纳结论，讲解例题，进入训练阶段。在授课中，学生已经从动画演示中学会了画一般情况的垂线，但对于需要添加辅助线的垂线画法，笔者只是作了简单的介绍，因为笔者认为学生在小学时接触过。在另一班授课时，笔者采用如下方法组织教学：
（1）过 外一点B作 的垂线；（2）过 外一点B作 的垂线；
（3）过AC外一点B作AC的垂线。
第（1）题是上课时动画演示类似的题目，学生基本上会做，第（2）题是课后练习题中的一道题，第（3）题是作业中一道题。笔者把三道题目整合起来，相当于把“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂线”作图中需要添加辅助线的难点通过第（2）题达到了“一桥飞架南北，天堑变通途”的效果，且学生对于辅助线的添加也显得自然合理，学生学得轻松有趣，且基本上能画出第（3）题的答案，教学效率明显提升。
前几天同事说，他在教人教版九年级（下）27.2.2相似三角形的判定（2）之“边边边”和“边角边”这节课后，学生的作业做得很不理想：（1）书写格式乱七八糟；（2）遇到稍难些的推理题，便没有什么思路或有些写了一些思路，但无法准确表达。笔者仔细分析发现：两个判定放在一节课里学习表面上容量较大，但完全可以有机整合。教材中的例题是一道难度极小的判断性习题，学生的推理缺少相应判定定理的实践性演练。笔者给他提出建议：（1）整合定理的推导过程。可类比三角形全等的判定中的SSS和SAS学习，其中一个定理的推导可师生一起完成，另一个可类比推导。（2）把教材中的例1舍弃，配上一道新的例题。
如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP=3PC，Q是CD的中点，求证：ADQ∽QCP
证法1：（用判定“边边边”）：
在正方形ABCD中，设它的边长为AD=
Q是CD的中点，DQ=QC=
BP=3PC， PC=
由勾股定理推得：AQ=，PQ=
ADQ∽QCP.
证法2：（用判定“边角边”）：
在正方形ABCD中， Q是CD的中点，DQ=QC=
BP=3PC， PC=
ADQ∽QCP.
整合一个好例题，不但巩固了两种判定方法，而且通过一题多解，可以锻炼学生思维的广阔性、深刻性、灵活性和独创性。有人说：“规范办学了，时间不够用了”，尤其是实行“三案”以来，很多学生不能及时完成预习案，不能保证完成巩固案。但是，这节课的设计，有“一条线拎起了两条蚂蝗”的感觉，我们要的就是这个效果，我们要把规范办学下有限的40分钟时间都当成歌德笔下的《最后一课》来用。想尽一切办法，提高课堂效率。
二、悟“活动”之道，见课堂高效
荷兰数学教育家弗赖登塔尔认为：数学学习是一种活动，这种活动与游泳、骑自行车一样不经过亲身体验，仅仅从看书本、听讲解、观察他人的演示是学不会的。因而《数学课程标准》的“基本理念”中指出：“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆。动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式”，在数学教学活动中，“教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想与方法.获得广泛的数学活动经验”。
听过许多“三角形内角和定理”的公开课，在证明定理时，教师通过种种途径去解释为什么要添加辅助线，但学生却仍一知半解，化归思想无法落实。这样的课，好像是教师牵着学生过独木桥一样，教师一放手，学生便会摔跤。为了解决这种困惑，笔者对这块内容作了深入研究，一方面要让学生领会三角形内角和定理的证明中要构造平角（1800），另一方面要让学生能自然而然地想到必须去添加这些辅助线（合理性）。笔者从中“悟”出，设置如下数学活动，来化解学生的理解难点：
[活动1]拿三角形纸片（如图1），把两个角剪下，接在第三个角的顶点处，有几种拼图方法？
通过学生的动手操作，得出以下两种拼图的方法（如图2）
拼图活动直观、形象地启发学生猜想三角形内角和定理，也启发了学生找出证明此定理时的辅助线添法。
[活动2]拿同样的三角形纸片，只剪下一个角进行拼图，你能说明三角形的内角和定理吗？
这个活动是考虑到两平行线的同旁内角互补，因此猜想用平行线的性质来拼图验证此定理（如图3），这样就发散了学生的思维。
[活动3]再拿出第三张三角形纸片，不剪出这张纸片中的任意一个内角，你能通过对这张纸片的折叠来验证三角形内角和定理吗？
问题激发了学生的兴趣和好奇心。经过活动操作，只要将三角形按图4中的虚线折叠，拼成一个平角即可说明这一定理。这个
问题是活动1的迁移，培养了学生知识的迁移能力。
通过分组讨论，学生得出以下四种辅助线的添法（如图5）
以上活动的设计，让学生真正领悟要得到三角形的内角和定理的证明过程，添加辅助线成为水到渠成之事。杜威在其著作《我们怎样思维》中讲到“教师的成长和发展的第一步，就在于教师自身的反思”。可见，教师行“悟道”对促进教师改进教学策略，不断提升自己教育教学水平有着重要的作用。
三、悟“变式”之道，见课堂高效
变式教学的宗旨是启发、引导学生研究、探索知识的发生、发展过程，有利于发挥学习主体的主动和能动作用，激发学生的学习兴趣，提高学生的注意力。变式教学可以较好地避免教学中使知识、技能、方法割裂的弊端，能使学生的思维向“深”和“宽”的方向发散，从而培养学生思维的发散性、深刻性、灵活性和创造性，能起到拓展学生思维的作用。变式教学能通过一个问题解决一类问题，有效地增大课堂教学容量，有效地控制课外作业量实现让学生跳出“题海”，从而减轻学生负担，真正提高数学课堂教学的效率。
（2010山东烟台）手工制作课上，小红利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，下面四个图案是她剪裁出的空心不等边三角形、等边三角形、正方形、矩形花边，其中，每个图案花边的宽度都相等，那么，每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是（ ）。
笔者的爱人遇到上面一道题，她通过举出一些具体的数据解释给学生听，比如设内矩形的长为10，宽为5，小路宽为1，则外矩形的长为12，宽为7，，所以D选项这两个矩形不一定相似，但她感觉到部分学生似懂非懂。来征求我如何分析，学生才会解惑？见到此题，笔者回忆起新人教版九年级（下）教材第39页习题27.1第6题：
原题：如图，矩形草坪长30m，宽20m，沿草坪四周有1m宽的环形小路，小路内外边缘所成的矩形EFGH和矩形ABCD是否相似？
笔者从中“悟道”，必须要通过探索这一类题来彻底解决双矩形类问题。于是通过一节变式教学课提高课堂教学效率，发展学生思维品质。具体做法如下：
解：矩形的每个内角都等于900，
∠A=∠E=900，∠B=∠F=900，
∠C=∠G=900，∠D=∠H=900
即： 它们的对应角对应相等。
但它们的对应边：
矩形EFGH和矩形ABCD不相似
引导学生思考，如果改变矩形ABCD的长和宽，那么矩形EFGH和矩形ABCD相似吗？进一步追问：如果改变矩形ABCD的长和宽不变，那么小路的宽为多少时，矩形EFGH和矩形ABCD相似？
设小路宽为x，对应角都已经对应相等了（900）
还需条件：，即
解得x=0，这样的小路宽不存在。
由以上可知： 边缘宽度相同的内外两个矩形永远不可能相似。到此，学生对于2010山东烟台的中考题便会不讲自通。教师不妨再追问：既然边缘宽度相同的内外两个矩形永远不可能相似，那么，边缘宽度不相同的内外两个矩形有没有可能相似呢？此时，学生的探究欲望会被再一次燃烧。
设小路宽为x和y，对应角都已经对应相等了（900），
还需条件：，即
解得
结论：当横向小路的宽与纵向小路的宽之比为3：2时，矩形EFGH和矩形ABCD相似。
如果矩形ABCD的长为m，宽为n，叫学生猜想：是否成立。
还需条件：，即
。结论：当横向小路的宽与纵向小路的宽之比为m：n时，矩形EFGH和矩形ABCD相似。也就是说，当横向小路的宽与纵向小路的宽之比等于矩形ABCD的长与宽之比时，矩形EFGH和矩形ABCD相似。
教师再次追问：那么两个梯形呢？如果梯形ABCD的各边向外平移2个单位得到新的梯形EFGH，试问两个梯形相似的条件是什么？（答案：若EA，FB，GC，HD的延长线能交于一点时，所得到的两个梯形能相似。）
通过层层追问，学生的思维被一次次激活，通过这一系列的变式拓展训练，不但能开阔学生的解题思路，而且启发学生建立了课本例题，课外习题之间的联系，使学生在做题时做到“遇新题，忆旧题，多思考，善联想、多变换、找规律”，从而培养了学生的应变能力和创造性思维能力。著名数学家波利亚说过“一个专心认真备课的教师能够拿出一个有变化但又不太复杂的题目，去帮助学生挖掘问题的各个方面，使得通过这道题就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的理论领域”。教师在教学过程中，“悟道”起着关键的因素，通过“悟道”进行变式教学，讲一题，串一类，课堂教学效率明显提升。
身为教师，就要在工作中不断学习，在学习中不断“悟道”，在“悟道”中不断实践，在实践中努力探索，才能使自己在理论上提升、在经验中升华、在研究中突破、在追求中完善，成为现代教学中的合格高效的教师。
旦旦为之，终日成骐骥；“悟道”着，快乐着。
参考文献：
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[2]李涛.提高课堂教学效率之我见[J].教育理论与实践，2000（2）.
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[5]周景，张庆林.关于提高教学效率的几点思考[J].西南民族大学学报（人文社科版），2003（24）.