关于“年龄问题”的数学教学体会

应用题之所以难学,复杂是一个原因,但更重要的是学生的解题思路(思维过程的顺序、步骤与方法)不明确,缺乏应用的训练,因而使学生拿到问题无从下手。对于这一点,我们可以拿解计算题同它作比较。解计算题时,学生根据运算法则,运算顺序进行计算,思维过程同运算顺序是一致的,且计算的步骤看得见,通过训练,学生容易掌握。而解应用题时学生要了解题意,通过分析条件与条件之间,条件与问题之间的各种数量关系,找到解题的途径和方法。从审题到列出算式,思维过程少则几步,多则十几步,都是用“内部语言”的形式进行的。我以传统四则应用题中的所谓“年龄问题”为例来探究。

小明今年8岁,他父亲38岁,小明多少岁的时候,他父亲的年龄正好是他的2倍?

对于七八岁的小学中低年级儿童,无论是从他们的知识范围还是从他们的逻辑思维来看,要解答这道题,难度是很大的,而《教学参考书》中却有这样一句话:“这道题可以这样解答:38-8=30,当小明30岁时他父亲的年龄刚好是他的2倍。”这样的算法其解答虽对,但过于简略,未能反映出解题原理。

这个题是传统数学四则应用题中的所谓“年龄问题”中的一个特例(2倍关系)。年龄问题的特点是:父长子也长(兄长弟也长),父子之间(或兄弟之间)年龄之差是永远不变的(恒差),但他们年龄之间的倍数关系,都随着年龄的增长而变化。

笔者在此先说明一般年龄应用题的解答方法,然后对如何讲授这道题作初步探讨。

例1:父亲40岁,小红8岁,问几年后父亲为小红的3倍?

解法1:父女年龄之差为40-8=32(岁),此差无论在哪年都不变,几年后父亲为小红的3倍,那么父女年龄之差(父亲比小红大)恰为小红的(3-1)倍。而此时父女年龄的差仍为32岁,它就是小红的(3-1)=2倍。由此可知,几年之后小红为32÷(3-1)=16(岁)

因为小红为8岁,所以16-8=8年,就是8年后父亲年龄正好是小红年龄的3倍。综合算式:(40-8)÷(3-1)-8=8(年)。

解法2:因父长女也长,再过多少年父女所增加年龄相等。今年小红年龄的3倍为8×3=24(岁),父女年龄差为40-24=16(岁),明年小红增加一岁,所以明年小红的3倍比今年多3岁,而父亲也增加1岁,所以明年小红的3倍,父亲年龄之差比今年少3-1=2(岁),依次计算,后年再少2岁,这样当差为“0”时,则父亲恰好是小红的3倍。求出16岁为2岁的几倍,即可求出年数,所以16÷2=8(岁)。综合算式:(40-8×3)÷(3-1)=8(年)。

解法3:图解法

几年后父亲的年龄为小红的3倍?就是说,父亲年龄内有3个小红的年龄(实线段表示),3个几年后(虚线段表示)。今由父亲现在年龄(40岁)内减去小红年龄(8岁)的3倍:40-8×3=16,余者16恰为(3-1)个几年后。这样一个几年后就是16÷(3-1)=8(岁)。综合算式:(40-8×3)÷(3-1)=8(年)。

由此:这类“求几年以后”的年龄问题,一般解答规律:(父年龄-子年龄×倍数)÷(倍数-1)。

例2:哥哥比弟弟大10岁,再过3年,哥哥的年龄正好是弟弟年龄的3倍,弟弟今年几岁?哥哥今年几岁?

这类年龄问题是已知兄弟之间(或父子之间)的年龄差(恒差),也知道再过多少年的年数及几年后的年龄之间的倍数,求兄弟现年几岁。

我们知道,年龄之差是不变的,增加的年龄又是相等的,所以可根据线段图这样考虑:

因为3年后哥哥的年龄是弟弟年龄的3倍,就是说3年后的哥哥的年龄中包含了3个3年后的弟弟的年龄(如图),那么3年后年龄的差恰好是弟弟年龄的(3-1)倍,而此差仍是10岁,所以3年后弟弟的年龄为10÷(3-1)=5(岁),现在的年龄就是5-3=2(岁)。综合算式:10÷(3-1)-3=2(岁),弟弟现年为2岁,哥哥比弟弟大10岁,则哥哥现年为2+10=12(岁)。所以解答这类年龄问题的一般规律:弟弟现在的年龄=年龄之差÷(倍数-1)-增加的年龄数。

综上所述:从实际出发引导儿童思维:解答年龄问题,必须注意启发儿童思维并初步理解“父长子也长”,“父子年龄之差”,“父子年龄之间的倍数关系”三要素的基本概念。

如小明8岁,他父亲38岁,年龄之差为38-8=30(岁);当小明9岁时他父亲39岁,年龄之差为39-9=30(岁)……因为每过1年,小明长1岁,父亲也长1岁,所以无论到哪1年,他父亲始终比他大30岁。

“年龄之间的倍数关系”:“倍数”的概念儿童在前面已经初步建立。如“今年冬冬8岁,爷爷72岁,爷爷的年龄是冬冬的几倍?”

那么,当父亲的年龄正好是小明年龄的2倍时,父亲的年龄比小明的年龄大几倍?可用线段图启发儿童思维。

父亲年龄是小明年龄的2倍。

父亲的年龄比小明就大2-1=1倍。

那么小明多少岁时,父亲的年龄正好是小明的2倍?

父亲的年龄比小明的年龄大几倍?2-1=1(倍)。

父亲比小明大多少岁?38-8=30(岁)。

父亲比小明大2-1=1倍就大30岁,就是说小明要到30÷1=30(岁)时,父亲的年龄才正好是他的2倍。因为30÷1=30也恰好是38-8=30,所以《教学参考书》中只提“38-8=30,当小明30岁时他父亲的年龄正好是他的2倍。”还有一个原因,儿童在此以前尚未学习“混合运算”及“小括号”,所以引导儿童思考解答此题时也只解分步运算,不能列综合算式运算。

当教学到了“混合运算”后,教师可在适当的时候加强儿童对大多少岁的理解,巩固“混合运算”法则及“小括号”时,再引导儿童列出综合算式。同时,教师可引导儿童思考:父亲今年36岁,兰兰今年4岁,兰兰多少岁时,他父亲的年龄正好是她的5倍?

父亲的年龄比兰兰的年龄大多少岁?36-4=32(岁)。

父亲的年龄比兰兰的年龄大几倍?5-1=4(倍)。

大4倍就大32岁,兰兰多少岁?32÷4=8(岁)。

兰兰多少岁时,她父亲的年龄正好是她的5倍?

综合式:(36-4)÷(5-1)=8(岁)。

解答这类“求多少岁时”的年龄问题的一般规律:(父的年龄-子/女的年龄)÷(倍数-1)。