几个重要不等式的证明及应用

摘 要： 针对初等数学与高等数学中几个重要的不等式：Cauchy不等式、Schwarz不等式、平均值不等式，从证明方法到应用解题技巧进行总结与归纳。

关键词： Cauchy不等式 Schwarz不等式 平均值不等式

不等式是初等数学及高等数学中一种应用广泛的解题工具，在中学各种竞赛、高考、专升本、研究生入学考试等各类考试中常出现有关不等式的题型.特别自20世纪90年代以来，不等式的相关研究成为热点，在初等数学、数学分析、微分方程等领域都有广泛的应用，而在中学数学教学和大学数学教学中，不等式的教学更是一个难点，学生在学习不等式，应用不等式解题时困难重重.本文以3个重要的不等式为例，对其证明方法及推广、应用技巧进行总结与归纳.

1.Cauchy不等式

定理1（Cauchy不等式）设a,b为任意实数(i=1,2,…,n)则(ab)≤ab，其中等号当且仅当a与b成比例时成立.

证明：（二次型法）

0≤(ax+by)=(a)x+2(ab)xy+(b)y，

即关于x,y的二次型非负定，因此：a abab b≥0，即(ab)≤ab.

Cauchy不等式可以直接应用到其它不等式的证明中.应用Cauchy不等式证明其它不等式的关键是构造两组数.下面举例来说明.

例1（2005年中学竞赛试题）设a>0(i=1,2,…,n)满足a=1，求证：++…+≥.

证明：令a=a，由Cauchy不等式得：

(a)=()≤,(a+a)=2a.

于是≥a=.

2.Schwarz不等式

Cauchy不等式的积分形式为Schwarz不等式，它可以通过积分定义，由Cauchy不等式推广得到.

定理2（Schwarz不等式）若f(x),g(x)在［a,b］上可积，则：

(?蘩f(x)g(x)dx)≤?蘩f(x)dx?蘩g(x)dx（1）

若f(x),g(x)在［a,b］上连续，其中等号当且仅当存在常数α,β，使得αf(x)=βg(x)时成立（α,β不同时为零）.

证明：将［a,b］n等分，令x=a+(b-a)，应用Cauchy不等式，

(f(x)g(x))≤f(x)g(x)，

令0∞取极限，即得到（1）式.

应用Schwarz不等式，可证明另外一些不等式，使用时需注意恰当地选取函数f(x),g(x).

例2（中科大2003年研究生入学考试试题）已知f(x)≥0，在［a,b］上连续，?蘩f(x)dx=1，k为任意实数，求证：(?蘩f(x)coskxdx)+(?蘩f(x)sinkxdx)≤1（2）

证明：（2）式左端第一项应用Schwarz不等式，得到：

(?蘩f(x)coskxdx)=［?蘩(coskx)dx］≤?蘩f(x)dx?蘩f(x)coskxdx=?蘩f(x)coskxdx（3）

同理(?蘩f(x)sinkxdx)≤?蘩f(x)sinkxdx（4）

式（4）+式（3）即得式（2）成立.

3.平均值不等式

定理3（平均值不等式）对任意n个实数恒a≥0(i=1,2,…,n)恒有：

≤（5）

（即几何平均值小于算术平均值），其中等号当且仅当a=a=…=a时成立.

定理3有很多巧妙的证明方法，本文采用一种新思路，利用反向归纳法证明.

证明：1°［证明命题对一切n=2(k=1,2,…)成立］.首先有：

=≤.（等号当且仅当a=a时成立）

其次=≤=.

（等号当且仅当a=a=a=a时成立）

类似，?坌k∈N，重复上述方法k次，

≤≤…≤.

（等号当且仅当a=a=…=a时成立）

2°记A=，则nA=a+a+…a.假设不等式对n+1成立，则A==≥,故A≥aa…aA，A≥aa…a,A≥(aa…a).因此不等式对n成立.等号当且仅当a=a=…=a时成立.

例3（2006年专升本试题）已知p、q均为正数，且p+q=2,求证：p+q≤2.

证明：p、q均为正数，所以p>0,p>0.

又p+q=2,(p3+1+1)+(q+1+1)=6,则由平均值不等式得p+1+1≥3=3p,q+1+1≥3=3q，3p+3q≤6,故p+q≤2.

参考文献：

［1］裴礼文.数学分析中的典型问题与方法［M］.高等教育出版社，2005.

［2］杨德胜.高中数学奥林匹克竞赛（代数篇）［M］.华东理工大学出版社，2003.

［3］同济大学数学系.高等数学（第六版）［M］.高等教育出版社，2007.

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