数学思维:数学教学的基石

摘 要：数学是思维的体操，数学教学是数学思维活动的教学，培养和发展学生良好数学思维能力是发展智力、提高数学能力、培养个性品质的主要途径. 本文通过具体案例，谈谈在解析几何教学中思维的灵活性、深刻性、广阔性、敏捷性和批判性的培养策略.

关键词：数学思维；思维品质；解析几何

数学是思维的体操，数学教学是数学思维活动的教学，培养和发展学生良好数学思维能力是发展智力、提高数学能力、培养个性品质的主要途径. 高中数学新课标也把提高学生的数学思维能力作为数学教育的基本目标，而思维能力的高低往往反映在思维品质上，所以要提高学生的数学思维能力，关键是培养学生良好的数学思维品质. 本文就解析几何教学中数学思维品质的培养进行探析，希望能够抛砖引玉.

[?] 思维灵活性的培养

数学思维的灵活性，集中反映了学生在数学思维活动中，即时、科学地转换思考的方向、过程和思维技巧的水平. 培养数学思维的灵活性，就是要使学生掌握较丰富的数学思维技巧，使认知结构中的知识具有实质性的、非人为的丰富联系性，掌握根据解题进程的需要选择和转换方法的能力. 培养和提高学生一题多解、一题多变的能力是培养数学思维灵活性的有效措施.

1. 一题多变，培养思维的灵活性

案例1是简单的线性规划问题，变式1是线性约束条件下求非线性目标函数的取值范围，变式2、变式3是非线性约束条件下求线性和非线性目标函数的取值范围问题，通过上述几个变式，既有利于学生对线性规划问题的全面认识和理解，领悟数形结合的思想，同时又可以培养数学思维的灵活性.

2. 一题多解，培养思维的灵活性

选择典型例题，有目的地对学生进行一题多解的训练，有利于加深对知识的理解，渗透数学思想方法；有利于调动学生学习的兴趣，培养主动探究的能力；有利于提高思维能力，培养创新意识.

案例2 已知抛物线C：y=-x2+mx-1，点A（3，0），B（0，3），求抛物线C与线段AB有两个不同交点时m的取值范围.

解法一：线段AB方程为：x+y=3（0≤x≤3），代入抛物线方程得x2-（m+1）x+4=0，令f（x）=x2-（m+1）x+4，则上题等价于方程f（x）=0在[0，3]上有两个不同的解.

解法一从方程的角度利用函数方程的思想解决，解法二、三利用数形结合的思想解决. 通过以上思想、方法的介绍，可以很好地引导学生从多角度观察、思考、联想，并获得多种解题途径，使他们在开阔视野、增加兴趣的同时，培养数学思维的灵活性.

[?] 思维深刻性的培养

数学思维的深刻性集中反映了学生对数学学习材料进行概括，对具体数量关系和空间形式进行抽象，以及在推理过程中思考的广度、深度、难度和严谨性的水平. 培养数学思维的深刻性，就是培养学生把握数学本质的能力，使学生能够透过现象看本质，善于利用数学知识之间的相互联系来发现和认识新的数学知识. 变式教学和探究知识的形成过程是培养思维深刻性的常用方法.

1. 通过变式，培养思维的深刻性

变式教学包括概念性变式与过程性变式，概念性变式有助于帮助学生理解概念的本质，过程性变式则有助于帮助学生建立前后知识的内在合理联系，形成良好的知识结构，优化学生的思维过程.

案例3 已知圆方程为x2+y2=r2，P（x0，y0）为圆上一点，求过P点的圆的切线方程.

变式1 点P（x0，y0）为圆内一点，试判断直线xx0+yy0=r2与圆的位置关系.

变式2 点P（x0，y0）为圆外一点，试判断直线xx0+yy0=r2与圆的位置关系.

变式3 已知椭圆方程+=1，P（x0，y0）为椭圆上一点，+=1是否为过该点的椭圆的切线方程？

引导学生探索以上问题的求解过程中，始终注意循循善诱，由浅入深，由表及里，促进学生自觉地意识到必须从本质上看问题，从而培养数学思维的深刻性.

2. 通过探究知识的形成过程，培养思维的深刻性

定理、公式的推导过程是基本思想、方法的形成过程，是数学能力的培养和锻炼的过程，因此我们在平时的教学过程中应注重知识的形成、发展过程，通过知识的探究过程，培养数学思维的深刻性.

案例4 在点到直线的距离公式的推导过程中，设置以下问题链：

问题1 求点P（2，0）到直线y=x的距离，若P点坐标改为（2，1），又如何求？

问题2 求点P（2，1）到直线y=2x的距离，若直线方程改为y=2x+1，又如何求？

问题3 求点P（x0，y0）到直线Ax+By+C=0的距离.

通过以上几个问题的探究，从具体到抽象，从特殊到一般，让学生熟悉推导点到直线距离的各种方法（三角形法、等积法、向量法等），掌握数形结合的思想和转化思想，进而培养数学思维的深刻性.

[?] 思维广阔性的培养

数学思维的广阔性是指思维活动作用范围的广泛和全面的程度，集中表现为思路开阔，能全面地分析问题，多角度地思考和研究问题. 培养数学思维的广阔性，在教学时应引导学生从不同的角度分析问题，横向联系，广泛联想，拓宽解题思路.

案例5 椭圆+y2=1上哪个点离直线L：x+y-4=0最远，哪点最近？

分析1：设直线L′：x+y+c=0与椭圆相切，联立直线L′与椭圆的方程，得4x2+6cx+3（c2-1）=0，由Δ=0得c=±2，此时x= -c=±.

分析2 设椭圆上一点的坐标为（cost，sint），d==

分析1通过平移相切获得求解，分析2通过椭圆的参数方程，借助三角函数的有界性解决，分析3则利用了导数的应用. 本题横纵向联系、沟通，大大地提高学生的应变能力和综合运用知识的能力，开拓了思路，进而培养了数学思维的广阔性.

[?] 思维敏捷性的培养

数学思维的敏捷性集中表现为学生数学思维过程的简缩性与快速性. 培养数学思维的敏捷性，就是要使学生在处理和解决问题的过程中，能够适应当前问题需要积极思维、周密思考，正确地判断，并迅速地做出结论，能够在解决问题的过程中走捷径、使巧法，善于通过“缩减”的思维形式缩减解题过程，掌握公式的各种变形和思维块的集成是培养数学思维敏捷性的有效途径.

4. 掌握公式的各种变形，培养思维的敏捷性

课本中公式都是其中的一种标准形式，而实际应用时符合这种标准形式的毕竟是少数，所以在课堂教学中，应引导对公式进行变形，掌握其三用：正用、逆用、变用，如解几中点到直线的距离公式、斜率公式、定比分点公式等，考虑其逆用，就可得到构造法解题，从而培养数学思维的敏捷性.

2. 通过思维块的集成，培养思维的敏捷性

案例6 设抛物线y2=2px（p>0），直线y=kx+m过抛物线的焦点F，倾斜角是θ，且与抛物线交于P（x1，y1），Q（x2，y2）两点，如图3，则可以得到如下结论：

利用以上结论解决有关抛物线中的焦点弦问题时，可大大缩短解题的过程，提高解题的速度，进而培养数学思维的敏捷性.

[?] 思维批判性的培养

数学思维的批判性，集中反映了学生在数学思维活动中，准确而严格地评估数学材料、精细检查思维过程、自我调节控制思维方向和过程的能力. 培养数学思维的批判性，就是培养学生的元认知水平，使他们善于发现问题，提出质疑，调整思维方向，提高辨别是非的能力.

1. 大胆质疑，培养思维的批判性

宋代教育家朱熹曾说过：“读书无疑须教有疑，有疑且要无疑，这里方是长进”，要让学生有较强的思维能力，就要鼓励学生在学习过程中，沿“无疑有疑无疑……”循环往复的辩证统一的过程而努力.

案例7 在给出椭圆的定义后，引导学生提出以下质疑.

（1）若不在同一平面内，那么满足上述条件的点的轨迹是什么？

（2）2a=2c时点的轨迹是什么，2a

（3）若到两定点的距离之差是一常数，点的轨迹又是什么？

通过上述几个问题的延伸质疑，不仅提高了学生的思维能力，而且加深了对概念的理解，同时为今后学习双曲线打下了扎实的基础.

2. 构造反例，培养思维的批判性

教育心理学指出“概念和规则的正例传递，有利于概括信息的反馈，反例则传递着有利于辨别的信息”. 通过构造反例，可提高学生辨别对错的能力，进而培养学生思维的批判性.

案例8 已知双曲线x2-=1，点P（1，1），过点P作直线l交双曲线于A，B两点，若P为AB中点，求弦AB的长.

学生能很快地利用点差法得出直线AB的斜率是2，然后利用弦长公式求出弦长. 而实际上当直线的斜率是2时，判别式Δ

学生思维品质的培养是一个长期的过程，绝非一日之功，需要我们在平时的教学中以知识为载体，以思维为主线，通过创设问题情境，引导学生进行观察、比较、分析、综合、猜想、抽象、概括，其关键是在教学过程中要渗透数学思想和方法，注重过程教学，少预设，多生成，把冰冷的数学转化为学生火热的思考.