平抛运动及其规律

1.平抛运动的特点

①受力特点：F合＝mg，方向竖直向下

②运动特点：

平抛物体的速度方向与受力方向不在一条直线上，故平抛运动是曲线运动。又因为物体受恒力作用，加速度不变，故平抛运动是匀变速曲线运动。

平抛物体的运动是曲线运动的一个特例，其运动特点是具有水平方向初速度和竖直向下的加速度g（只受重力、忽略空气阻力），由运动的合成与分解知识可知，平抛运动可分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。因此，平抛运动问题都可以通过水平方向的分运动和竖直方向的分运动具有等时性的特点进行研究。

2.平抛运动的规律

以抛出点为坐标原点，以初速度v0方向为x正方向，竖直向下为y正方向，如图1所示。则有：

分速度vx＝v0，vy＝gt 合速度v＝s=，tanθ＝

分位移x＝v0?t，y＝gt2 合位移s＝

注意：合位移方向与合速度方向不一致。

轨迹：设物体平抛至某点（x，y），如图2所示，则轨迹方程为：

x＝v0t，y＝gt2 消去参数t，得y＝x2。（抛物线）

3.平抛物体运动中的速度变化

水平方向分速度保持vx＝v0，竖直方向加速度恒为g，速度vy＝gt，从抛出点起，每隔Δt时间的速度的矢量关系如图3所示，这一矢量关系有两个特点：（1）任意时刻的速度水平分量均等于初速度v0；（2）任意相等时间间隔Δt内的速度改变量均竖直向下，且Δv＝Δvy＝g?Δt

问题全解

平抛运动的飞行时间和水平距离由哪些因素决定？

由于分运动和合运动具有等时性，平抛运动的飞行时间只受下降的距离y的限制，即飞行时间只由竖直分运动决定，与水平分运动无关，只要做平抛运动的物体下降的距离相同，无论水平初速度和质量如何，其飞行时间均相同，且为t＝

但飞行的水平距离x则由平抛初速度v0和下降的距离y共同决定，为：x＝v0t＝v0

［例1］一架飞机水平匀速地飞行。从飞机上每隔1 s释放一铁球，先后共释放4个。若不计空气阻力，则4个球

A.在空中任何时刻总是排成抛物线，它们的落地点是等间距的

B.在空中任何时刻总是排成抛物线，它们的落地点不是等间距的

C.在空中任何时刻总在飞机正下方排成竖直的直线，它们的落地点是等间距的

D.在空中任何时刻总在飞机正下方排成竖直的直线，它们的落地点是不等间距的

解析：飞机和铁球的水平运动相同（相对地面）。选取飞机为参照物，每个铁球都做自由落体运动，都从飞机上释放，可以判断出4个铁球总在飞机正下方排成竖直的直线，每隔1 s释放1个铁球，故铁球落地点是等间距的。C正确。

点评：如果飞机斜向上匀速飞行，每隔1 s释放1个铁球，则以飞机为参照物，在空中铁球仍在飞机正下方排成竖直的直线。但由机释放铁球的高度不同，铁球落地点是不等间距的。

例2 图3为一小球做平抛运动的闪光照相照片的一部分，图中背景方格的边长均为5cm，如果取g=9.8m/s2，那么

（1）闪光频率是__________Hz。

（2）小球运动中水平分速度的大小是 m/s。

（3）小球经过B点的速度大小是___________m/s。

解析:物体竖直方向做自由落体运动，无论A点是不是抛出点，y=gT2均成立（式中y为相邻两闪光点竖直距离之差，T为相邻两闪光点的时间间隔）。水平方向有x=v0T（x为相邻两闪光点的水平距离）。

由v0=x=2L=2=1.4m/s

x=v0T和y=gT2可得T====s

故闪光频率f==16Hz

在B点时的竖直分速度vBy===m/s=2.8m/s

过B点时水平分速度vBx=v0

vB==m/s=3.1m/s

点评：尽管A点不一定是平抛的初始位置，但从图中A、B、C两两相邻所夹的格数相等，得出从AB、BC用的时间都相等，从而知道竖直方向上可以用 列式求解。

【学习方法指导】

运动叠加法

运动独立性原理又叫运动叠加原理。原理指出：一个运动可以看成是由几个同时进行的各自独立的运动的叠加。这是研究曲线运动的基本方法。中学物理课本中虽然没有明确给出运动独立性原理的文字表述，但教材内容和习题却体现了该原理的思想。我们在研究渡船过河时，把渡船的运动看成是船在静水中的运动和河水的运动的叠加。研究平抛运动时，把它分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。研究斜上抛运动时，把它分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛运动。带电粒子在电场中的偏转也用到运动独立性原理。在物理解题中也常常用到运动独立性原理这一研究运动合成和分解的重要方法。

应用运动独立性原理分析问题，应注意到：（1）各个分运动应是彼此独立的、互不影响的；（2）分运动和合运动具有同时性，各个分运动和合运动是同时进行的。

【知识拓展】

平抛运动的两个重要推论

推论1：做平抛（或类平抛）运动的物体在任一时刻任一位置处，设其速度方向与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为φ，则tanθ＝2tanφ。

证明：如图9所示，由平抛运动规律得：

tanθ＝= ， tanφ＝==

所以tanθ＝2 tanφ。

推论2：做平抛（或类平抛）运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图10中A点和B点所示。

证明：设平抛物体的初速度为v0，从原点O到A点的时间为t，A点坐标为(x，y)，B点坐标为(x′，0)，则x＝v0t

y＝gt2　v＝gt， 又tanθ＝=，

解得x'＝。

即末状态A点的速度方向反向延长线与x轴的交点B必为A点水平位移的中点。