基于最优控制理论的银行贷款动态定价研究

摘 要：商业银行贷款定价问题得到了广泛的研究，其不足之处是只考虑了商业银行的短期最优定价行为。本文针对信贷市场的动态性和商业银行的长期最优贷款定价行为，应用最优控制理论对商业银行的长期最优贷款定价问题进行了研究。通过将银行贷款定价的长期最优化决策描述成一个标准的最优控制问题，并采用Matlab11.0对上述最优控制问题进行求解和数值模拟。研究结果表明，在利率市场化条件下，信贷市场不仅会存在“道德风险”和“逆向选择”，而且银行之间的贷款定价不存在纳什均衡。

关键词：最优控制；利率市场化；贷款定价

中图分类号：F832.4 文献标识码：A 文章编号：1003-9031（2013）08-0013-04 DOI：10.3969/j.issn.1003-9031.2013.08.03

一、引言

随着社会主义市场经济的迅速推进，我国商业银行贷款利率日益市场化。而许多商业银行长期以来贷款定价的主要依据仍然是企业的信用等级和还款能力，没有形成系统的、科学的贷款定价机制[1]。商业银行对贷款利率是否进行浮动或浮动多少一般都缺乏规范、精细的标准，其利率浮动的幅度通常也不能反映借款人的信用水平及贷款项目风险程度[2]。因此，随着市场经济的发展，建立定量化的定价机制以灵活地应对复杂多变的市场环境势在必行。

在利率市场化条件下，商业银行贷款定价不是通过中央优化集中来决定的，而是通过市场竞争机制分散决定的[3]。在利率市场化程度较高的西方发达国家，商业银行贷款定价机制主要有成本相加定价机制、客户盈利分析模式等。但是，这些方法只考虑了贷款价格的短期优化决策或银行发放贷款的短视行为，即认为在信贷市场中，贷款定价在每个决策时期都是独立的，优化的目标为单个时期的利润最大化。实际上，贷款需求会随着经济的波动而变化，这种变化又会造成信贷市场的波动。因此，可用动态系统模型来描述商业银行贷款的定价机制。给定系统的这种动态性，商业银行的信贷定价机制实际上就是一个最优控制问题。

在竞争的信贷市场中，商业银行首先向市场发出各自的贷款价格。企业根据市场上的贷款报价和利润最大化原则决定接受某家银行的贷款，并通过信贷市场将这一信息反馈给银行，直至信贷市场供需平衡，市场出清。市场出清后，每家商业银行知道了信贷市场的市场出清价格，在下一轮定价中，商业银行会基于这些市场信息来调整自己的贷款价格以获取更多利润。因此，把信贷市场的竞价过程视为一个动态反馈系统能够更好的描述这一机制。此动态反馈过程，可以通过图1来反映。

本文通过对利率市场化条件下贷款定价的动态反馈性进行描述，并假设企业贷款的目标是为了获得贷款投资收益最大化，然后在这一假设基础上求出商业银行面临的信贷需求的动态方程。将动态方程中的市场信贷需求作为状态变量，信贷价格作为控制变量，得到一个标准的非线性动态系统的最优控制问题，并采用Matlab11.0对上述最优控制问题进行求解和数值模拟。

二、系统方程描述

在这一部分，我们应用最优控制理论构建一个企业贷款投资收益最大化模型。为方便分析，在此假设信贷市场不存在不确定性。特别的，在我们的描述中，信贷市场的动态性将被考虑在内。然后我们在企业贷款投资收益最大化模型的基础上构建描述商业银行贷款定价动态机制的最优控制理论模型。

（一）企业贷款投资收益最大化模型

假设信贷市场存在n家商业银行，在竞争性信贷市场中，商业银行发放贷款供需平衡，市场正好出清。而商业银行产品差异仅为信贷价格间的差异，即商业银行之间仅仅能够通过贷款价格的调整来参与市场竞争。我们假定商业银行i面临的信贷市场的需求函数，也即对应的企业i对贷款的需求函数为：

其中，qi是商业银行i面临的信贷需求，即企业i的贷款需求；ri是商业银行i的贷款价格，即贷款利率；ai，bi 为商业银行i发放贷款的需求参数；dij为不同商业银行信贷产品的替代系数；rj为商业银行i以外的其他银行的贷款利率。

假定银行和企业用有相同的生产成本函数，假定都是线性的，即

其中，C（qi）为企业的生产成本，该函数包含了企业贷款的利息支出等费用。为了分析方便，我们假设ci对企业来讲是相同的值，对各商业银行来讲各不相同。

假定企业贷款的投资收益率为r，则企业向银行借款的利润最大化函数为：

其中，qi是r的函数。对式（3）中的企业投资收益率一阶求导，得到满足企业利润最大化的一阶最优条件，即：

解得：

企业向银行贷款时，只有满足式（5）时才能达到利润最大化，即企业满足该条件时企业才会向银行借款，也只有满足该条件时银行发放的贷款才会有需求。在这里，我们可以把1/（r-ci）称为银行i的贷款调整因子或贷款调整强度。式（5）意味着银行只有按照该条件调整贷款时才能获得更多的利润。

（二）商业银行贷款的最优控制模型

在目前使用的定价方法中，商业银行主要关注的是个体单个时期内的最优，目标函数是单期利润最大化，即：max？仔■（t）。而长期最优意味着经营期内的利润之和最大化，即max■？仔■（t）dt。如果系统总是静态的或者只考虑单个时期内的利润最大化，则各期的利润是独立的，此时单期利润的最大值之和等于利润最大值的和，即max■？仔■（t）dt = ■max？仔■（t）dt。然而，各期利润可能不是独立不相关的，所以各期利润之和的最大值应该大于各期最大利润的和，即max■？仔■（t）dt >■max？仔■（t）dt。在动态系统中，长期最优被用来研究最优控制问题。接下来，我们将阐述最优控制在贷款定价中的应用。

据上所述，使用长期最优控制考虑了系统动态性是更加合理的。在这一部分，最优控制问题将被描述成单个银行i进行长期最优决策的目标是使各期利润之和最大化，即：

目标函数式（6）受约束于式（5）。因此，式（5）和式（6）构成了商业银行长期贷款最优决策的最优控制系统。式（5）为状态方程，式（6）为目标函数。ri为控制变量，qi为状态变量。即：

式（7）即为反映商业银行贷款长期动态定价机制的最优控制模型。通过求解该模型，我们可以得到商业银行贷款定价的均衡解和商业银行贷款利率与企业贷款投资收益率之间的关系。

三、模型求解与数值模拟

（一）模型求解

为了求解上述最优控制问题，我们构造如下汉密尔顿函数：

其中， λi（t）为协态变量。

式（8）两边对ri（t）求一阶导数并令其为零，得到汉密尔顿函数的最优性条件：

式（9）两边对qi（t）求一阶导数得到汉密尔顿函数的共态方程：

汉密尔顿函数式（8）的横截性条件为：

通过对式（9）、式（10）求解，可以得到式（12）和式（13）：

式（15）即为商业银行i贷款利率调整所需要遵循的动态方程。对其他n-1家银行进行类似分析，可得到一个n维动态系统。显然可以表示为n个微分方程，即为n家银行进行信贷价格调整的动态系统。若将有关参数代入，则可得到每家银行信贷定价的调整过程，通过其特征值还可以判断商业银行利率是否存在均衡。

为了便于分析，我们假设只有两家银行，银行1和其以外的其他银行，即银行2。于是可将（16）式化为微分方程组：

化简上式得：

式（17）中，当r1'=0，r2'=0时，对应的方程组的解即为商业银行1和其他商业银行2进行信贷竞争的均衡利率 （r1*，r2*）。该均衡解满足：

通过对式（18）进行数值模拟可以得到商业银行贷款利率与企业贷款投资收益率之间的关系。

（二）数值模拟

在这一部分，我们对商业银行在利率市场化条件下的贷款定价进行数值模拟。首先，我们给定银行1和其他银行2的各项参数（如表1）。

将参数代入式（17），我们可以求动力系统的特征根和特征向量。通过使用Matlab11.0我们求出动力系统的特征值为为0.0270和0.0030。有动态系统的奇点理论可知，当两个特征根同为正值时，是不稳定的。因而我们可以判断商业银行贷款定价不存在纳什均衡。

将参数代入式（18），可以得到商业银行贷款利率与企业贷款投资收益率之间的关系（见图2）。从图中可以看出，当企业贷款投资收益率不超过某个临界值时，企业贷款投资收益率高于商业银行贷款利率，利率随企业贷款投资收益率的增加而上升，而且商业银行1和2的利率基本相同。当企业贷款投资收益率超过一定临界值时，企业贷款投资收益率开始下降，且银行利率随着企业贷款投资收益率的下降而增加，商业银行的贷款利率将超过贷款投资收益率。

出现这样的原因主要是，当企业贷款投资收益率在一定临界值之内时，表明社会经济处于正常的稳定运行状态，产品市场供需稳定，企业贷款投资收益率稳步提高，商业银行贷款供需平衡，因此，银行利率随着企业投资收益率的上升而上升。银行利率随着企业投资收益率的下降而上升是因为随着经济的发展，市场经济运行逐渐出现失衡，此时企业产品销售不畅，企业贷款投资收益率降低，银行信贷风险增加，因此，银行会提高利率对冲风险。预期还款可能性较高的优质企业虽然经营风险小，但是由于利润率偏低，不能获得正常的贷款；相反，预期还款可能性较低的高风险企业，反而能够获得银行贷款，所以此时企业贷款投资收益率下降而银行贷款利率上升，出现了“逆向选择”行为。同时，高利率会诱使企业从事高风险的项目，放弃从事低风险的项目，从而使得信贷市场出现 “道德风险”行为。这就使得商业银行在较高的利率水平上拒绝了一部分优质贷款，使得贷款利率的上升提高了银行的平均信贷风险，降低了预期收益率。这说明，即使在利率市场化条件下，也会存在斯蒂格利茨所说的“道德风险”和 “逆向选择”。

四、结论

本文将信贷市场描绘成动态反馈市场，将贷款定价机制描述成一个动态的、非线性的系统。根据企业利润最大化原则建立了商业银行贷款定价动态的、非线性的最优控制模型。并使用Matlab11.0进行了求解和数值模拟。研究结果表明，在利率市场化条件下，商业银行贷款定价并不存在纳什均衡点。而且，在市场经济正常运行的条件下，商业银行贷款供需平衡，贷款利率一般低于企业贷款投资收益率，并随着企业贷款投资收益率的上升而增加。而当市场经济运行失衡时，企业贷款投资收益率降低，贷款利率随着投资收益率的下降而上升，使得正常企业无法获得贷款，而高风险企业却因为不惧利息高而能够获得贷款，信贷市场便会出现逆向选择和道德风险。

参考文献：

[1]李丽滢，刘钟钦.利率市场化条件下农村信用社的贷款定价研究[J].商业研究，2006（23）：162-165.

[2]关大宇.我国商业银行贷款定价的最优化模型设计[J].金融论坛，2006（3）：52-57.

[3]字如钧，郝云康，崇凌俊.范向前.国有商业银行贷款定价模型构建分析[J].云南财经大学学报，2011（3）：119-227.