求轨迹方程的五种方法

专题策划：解析几何解答题常常这样考

编者按：直线与圆锥曲线联系在一起进行考查的综合题在高考中多以压轴题的形式出现，主要涉及位置关系的判定、弦长问题、最值问题、轨迹问题、对称问题等，突出考查数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法.因此，这类题目综合性强、难度大，对考生的计算能力要求高，是历年高考考生失分最严重的题型之一.这部分内容你复习得如何？如果还不够好，那就再认真地学习一遍，因为它们真的很重要.

求曲线的轨迹方程一般都要经历设点、列方程、化简、检验这四个步骤，其中列方程是最重要的一步，而列方程的方法通常有以下五种.

直接法也称直译法，就是直接根据所给的条件列出等量关系式，条件怎么说你就怎么列，如到点的距离就用两点间的距离公式，到直线的距离就用点到直线的距离公式，多就加，少就减，倍就乘等.

例1 已知动点M（x，y）到直线l：x= 4的距离是它到点N（1，0）的距离的2倍.

（Ⅰ）求动点M的轨迹C的方程.

（Ⅱ）过点P（0，3）的直线m与轨迹C交于A，B两点.若A是PB的中点，求直线m的斜率.

难度系数 0.80

解 （Ⅰ）依题意可得|x-4|=2 .等式两边平方，得（x-4）2=4（x-1）2+4y2，即3x2+4y2=12.

所以，动点M的轨迹C的方程是 + =1.

（Ⅱ）直线m的斜率k=± .（解答过程省略）

小结 本题求轨迹方程的难度不大，同学们要注意最后将其化为椭圆方程的标准形式.

定义法也称几何法，就是根据所给的条件从几何图形上看恰好满足某种熟悉的曲线的定义，然后根据已掌握的该曲线的标准方程的公式列出方程.显然是直线的就用直线方程的公式，满足圆的定义的就用圆的标准方程的公式，满足椭圆定义的就用椭圆的标准方程的公式等.

例2 已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x-1）2+y2=9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.

（Ⅰ）求C的方程.

（Ⅱ）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求 |AB|.

难度系数 0.70

解 （Ⅰ）依题意，得圆M的圆心为（-1，0），半径为1；圆N的圆心为（1，0），半径为3.

设动圆P的圆心为P（x，y），半径为r，则由圆P与圆M外切，可得|PM|=r+1.

又由圆P与圆N内切，可得|PN|=3-r.

上述两式对应相加，得|PM|+|PN|= 4>2 =|MN|.

根据椭圆的定义，动点P的轨迹是以M，N为焦点，长轴长为4的椭圆，参考几何图形后发现还需除去左顶点（-2，0）.

又c=1，2a=4，所以b2=a2-c2=4-1=3.

所以，所求C的方程是 + =1（x≠-2）.

（Ⅱ）|AB|=2 或|AB|= .（解答过程省略）

小结 本题求轨迹方程涉及圆和圆的位置关系，通过外切或内切，列出圆心距与两圆半径的关系，最终我们发现其符合椭圆的定义.

代入法也称相关点法，就是已知某动点所在曲线的方程，而要求的是另一个动点的未知轨迹方程，有趣的是偏偏这两个动点之间恰好存在相关关系，于是我们只需将它们的关系代入已知的那个动点的曲线方程即可.

例3 已知抛物线C：y2= 4x的焦点为F.

（Ⅰ）点A，P满足 =-2 ，当点A在抛物线C上运动时，求动点P的轨迹方程.

（Ⅱ）在x轴上是否存在点Q，使得点Q关于直线y=2x的对称点在抛物线C上？如果存在，求所有满足条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明理由.

难度系数 0.60

解 （Ⅰ）依题意可知焦点F的坐标为（1，0）.设动点P的坐标为（x，y），点A的坐标为（x1，y1）.

由 =-2 ，得（x-x1，y-y1）=-2（x1-1，y1），即x-x1=-2（x1-1），y-y1=-2y1，解得x1=2-x，y1=-y.

由点A在抛物线C上运动，于是将点A的坐标代入y2=4x，得y2= 4（2-x）.

所以，动点P的轨迹方程是y2= 4（2-x）.

（Ⅱ）存在满足条件的点Q，其坐标为（0，0）和（- ，0）.（解答过程省略）

小结 向量与解析几何的综合应用是近几年高考的热点内容，其解决的方法就是向量问题坐标化.

参数法也称消元法，就是根据条件没能直接获得x与y的关系方程，而是获得x与参数k的关系方程以及y与参数k的关系方程，也就是得到一个参数方程，接下来需要通过消参才能获得x与y 的关系方程的方法.

例4 已知椭圆C： + =1（a>b>0）的两个焦点分别为F1（-1，0），F2（1，0），且椭圆C经过点P（ ， ）.

（Ⅰ）求椭圆C的离心率.

（Ⅱ）设过点A（0，2）的直线l与椭圆C交于M，N两点，点Q是线段MN上的点，且 = + ，求点Q的轨迹方程.

难度系数 0.40

解 （Ⅰ） .（解答过程省略）

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，椭圆C的方程是 +y2=1.设点Q的坐标为（x，y）.

（1）当直线l与x轴垂直时，直线l与椭圆C交于（0，1）和（0，-1）两点，此时 = + = + = ，点Q的坐标为（0，2- ）.

（2）当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y =kx+2.

由于M，N在直线l上，设点M，N的坐标分别为（x1，kx1+2）和（x2，kx2+2），则|AM|2=x21+（kx1+2-2）2=（1+k2）x21，|AN|2=（1+k2）x22，|AQ|2=x2+（y-2）2=（1+k2）x2.