变量代换法在高等数学中的应用

【摘 要】变量代换法不仅是一种重要的技巧，也是一种重要的数学思维方法。利用变量代换，可以化繁为简，化难为易。不同的问题，换元的方法可能不一样，但换元的思想是一致的。

【关键词】变量代换法；高等数学；应用

代换法是在一个比较复杂的数学式子中用新的变元去代替原式的一部分或改造原式子后进行解题的一种方法。利用代换法求解问题的关键是理解换元的思想，在具体的问题中能够把握如何换元。下面通过具体实例说明变量代换法在高等数学中的应用。

1.在求极限中的应用

例1．求■1-■■

解： 设t=-■，则x=-■，当x∞时，t0，故

■1-■■=■(1+t)■=[■(1+t)■]■=e■

例2．求■■

解： 设a■-1=t，则x=■，当x0时，t0，故

■■=■■=■■=lna

2.在求导数中的应用

例3．求y=sin■x的导数

解：设y=u■，u=sinx由复合函数的求导法则知

y'=y■■・■■■■■ｕ■■=３u■・ｃｏｓｘ＝３ｓｉｎ■ｘｃｏｓｘ

3.在求积分中的应用

例4．求?蘩■

解：设t=■，则x=3-t■，dx=-2tdt，于是

?蘩■=-?蘩■dt=-2?蘩■dt=-2?蘩(1-■)dt=-2(t-ln1+t)+c

=-2■+2ln(1+■)+c

例5．求■x■■dx

解：设x=sint，则dx=costdt，当x=0时，t=0，当x=1时，t=■，于是

■x■■dx=■sin■tcos■tdt=■■sin■2tdt=■■(1-cos4t)dt

=■(t-■sin4t)│■■=■

4.在解微分方程中的应用

例6． 求方程y■dx+（x■-xy）dy=0的通解

解：原方程可改写成

■=■

分子分母同除以x■，得

■■

作代换u=■，则■=u+x■，代入上式，得可分离变量方程

u+x■=■

分离变量，得

■=■du

两边积分，有

lnx=u-lnu+lnC

即xu=Ce■

还原，得原方程的通解为

y=Ce■

5.在无穷级数中的应用

例7． 将e■展开为x的幂级数

解：由e■=■■(t＜+∞)，作变量代换t=x■，得

e■=■■(t＜+∞)

例8．求幂级数■■的收敛区间

解：令x-3=t，原级数化为■■，而级数■■的收敛区间为(-1,1)，得原级数的收敛区间为(2,4)■

【参考文献】

［１］同济大学数学教研室. 高等数学[M].北京：高等教育出版社，1996.

［２］樊映川.高等数学讲义[M].北京：高等教育出版社，1964.