第9讲 导数的应用

考情分析

导数是新课标高考中必考的热点之一，其中正确求导是利用导数解决问题的前提，用导数研究函数的单调性是核心.运用导数求函数的单调性、极值、最值是高考命题的重点，在选择题、填空题、解答题都有涉及.而运用导数解决实际问题是函数应用的延伸，由于传统的数学应用题被概率解答题取代，近几年很少单独命题，但结合其它知识，常在最后两题位置之一考查导数、含参不等式、方程、解析几何等方面的综合应用问题，难度较大.从近几年高考看，全国各地高考试卷都有一个小题（选择或填空），5分，考查导数的单调性方面的单一运用，如给出导数的图象等信息，研究原函数的单调性、极值、最值等，以中偏高档题为主；一个大题，14分左右，以实际应用问题或以函数为载体，主要考查复合函数的求导，导数的单调性、极值、最值，解方程或解不等式，进而研究函数的零点或证明不等式，兼顾考查分类讨论.此类题难度阶梯上升，逐级增加，具有较强的综合性，对考生能力要求较高，不仅需要牢固掌握基础知识、基本技能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力.各地文、理科试卷在导数部分差别较大，理科更注重综合应用.

命题特点

导数的应用在高考中选择、填空、解答各种题型均可出现，以解答题为主，难度一般为中高档题.涉及的题型主要有：函数的求导和用导数解决曲线的斜率、倾斜角、切线方程；运用导数解决实际应用问题，即从实际问题出发，建立函数模型，从而解决实际问题；利用导数求函数的单调区间，或判断函数的单调性以及函数的极值、最值，进一步研究函数的零点或证明不等式，此类题综合性强、难度大，一般作为高考压轴题；从最近几年的高考试题看，解答题必考，这类题往往具有“稳中求新”、“稳中求活”等特点，更多地体现导数的强大的工具和魅力，注重对数形结合、分类讨论、转化化归等数学思想方法的考查.

1. 导数研究函数的单调性、极值和最值

导数应用注重基础知识、通性通法的考查，常与函数、方程等知识相结合，对参数进行分类讨论.

例1 [f（x）]为R上的可导函数，且对任意[x∈R]，均有[f（x）>f ′（x）]，则有（ ）

A. [e2015][f（-2015）]

B. [e2015][f（-2015）]e2015f（0）]；

C. [e2015][f（-2015）]>[f（0）]，[f（2015）

D. [e2015][f（-2015）]>[f（0）]，[f（2015）>e2015f（0）]

解析 构造函数[g（x）=f（x）ex]，则[g ′（x）=f ′（x）-f（x）ex].

因为对任意[x∈R]，均有[f（x）>f ′（x）]，且[ex>0]，

[]函数[g（x）=f（x）ex]在[R]上单调递减，

[][g（-2015）>g（0）， g（2015）

即[f（-2015）e-2015>f（0）e0=f（0），][f（2015）e2015

也就是[e2015][f（-2015）]>[f（0）]，[f（2015）

答案 C

点拨 本题主要考查了利用导数研究函数的单调性以及构造函数比较大小的方法，是一道非常精巧的小题，看似简单，但技巧性强.根据选项中函数值的形式准确构造函数，再把函数值的大小比较问题转化为函数的单调性问题来研究是解题的关键，其构造方法大家要熟练掌握.

2. 与最值有关的恒成立问题

恒成立问题通常转化为函数的最值问题来处理.通过构造函数，把不等式转化为函数，继而研究函数最值达到解题目的.

例2 已知函数[f（x）=2x+b，g（x）=x2+bx+c（b，c∈R）]，对任意的[x∈R]恒有[f（x）≤g（x）]成立.

（1）当b=0时，记[h（x）=g（x）f（x）]若[h（x）]在[[2，+∞）]上为增函数，求c的取值范围；

（2）证明：当[x≥0]时，[g（x）≤（x+c）2]成立；

（3）若对满足条件的任意实数b，c，不等式[g（c）-g（b）≤M（c2-b2）]恒成立，求M的最小值.

解析 （1）因为任意的[x∈R]恒有[f（x）≤g（x）]成立.

所以任意的[x∈R]恒有[2x+b≤x2+bx+c]，

即[x2+（b-2）x+c-b≥0]恒成立.

由二次函数知，[Δ=（b-2）2-4（c-b）≤0]，

化简得[c≥b24+1]，即[c≥1].

当[c≥1，b=0]时，记[h（x）=g（x）f（x）=12x+c2x]，

因为[h（x）]在[2，+∞]上单调递增，[h′（x）≥0]在[2，+∞]上恒成立，

即[12-c2x2≥0]恒成立，即[c≤x2]在[2，+∞]上恒成立，

所以[c≤[x2]mim=4]，故c的取值范围为[1，4].

（2）要证明[g（x）≤（x+c）2]成立，

只需证明[（2c-b）x+c（c-1）≥0]在[x≥0]时恒成立.

在[c≥1，]的情况下，[c（c-1）≥0]，

而[c≥b24+1≥][2b24×1=|b|]，

可见[2c-b=c+（c-b）>0]，

故当[x≥0]时，一定恒有[（2c-b）x+c（c-1）≥0]，证毕.

（3）由（2）得，[c≥|b|].

当[c=|b|]时，[c=2，b=±2]，

这时验证不等式[g（c）-g（b）≤M（c2-b2）]成立.

当[c>|b|]时，[c2>b2]，不等式可化为[g（c）-g（b）c2-b2≤M]，

因此需求[g（c）-g（b）c2-b2]的最大值或者它的值域，

[g（c）-g（b）c2-b2]=[c+2bc+b]=2-[cc+b]=2-[1bc+1]，

而[c

因此[g（c）-g（b）c2-b2]的最大值为[32]，故M的最小值为[32].

点拨 不等式恒成立求参数取值范围问题经常采用下面两种办法.一是分离参数求最值，即要使[a≥g（x）]恒成立，只需[a≥g（x）max]，要使[a≤g（x）]恒成立，只需[a≤g（x）min]，从而转化为求函数的最值问题.二是当参数不容易分离时，可以直接求函数的最值，建立关于参数的不等式求解，这是通法.例如：要使不等式[f（x）≥0]恒成立，可以求得[f（x）]的最小值[h（a）]，令[h（a）≥0]即可求出a的范围.

3. 利用导数研究函数的零点或不等式的解集或方程的根

此类问题综合性比较强，通常要构造函数，把问题等价转化为函数问题，研究函数的单调性、极值、最值，作出函数的草图，数形结合.

例3 已知函数[f（x）]是[（0，+∞）]上的可导函数，若[xf ′（x）>f（x）]在[x>0]时恒成立.

（1）求证：函数[g（x）=f（x）x]在[（0，+∞）]上是增函数；

（2）求证：当[x1>0，x2>0]时，有[f（x1+x2）>f（x1）+f（x2）].

解析 （1）由[g（x）=f（x）x]得，[g ′（x）=xf ′（x）-f（x）x2].

因为[xf ′（x）>f（x）]，

所以[g′（x）>0]在[x>0]时恒成立，

所以函数[g（x）=f（x）x]在[（0，+∞）]上是增函数.

（2）由（1）知函数[g（x）=f（x）x]在[（0，+∞）]上是增函数，

所以当[x1>0，x2>0]时，

有[f（x1+x2）x1+x2>f（x1）x1]，[f（x1+x2）x1+x2>][f（x2）x2]成立.

从而[f（x1）

两式相加得[f（x1+x2）>f（x1）+f（x2）].

备考指南

1. 回归课本，重视对基本函数与导数定义、图象、运算与性质的复习.对于函数与导数知识的考查，试题多数围绕函数与导数的概念、图象、运算、性质等方面命题，围绕二次函数、三次函数、分段函数、指数函数、对数函数等几个基本的初等函数来设计，考查函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性，考查导数的几何意义、导数的基本运算等.所以，我们对函数与导数部分的复习，一定要回归课本，重读教材，只有把课本中的例、习题弄明白，夯实基础，才能真正掌握、灵活运用，达到事半功倍的效果.

2. 加强对函数应用意识的培养和训练.高考加大了对函数应用性问题的考查力度，试题贴近生产、生活，情境具有公平性，难度适当，设问新颖灵活，而解决这类问题所涉及的数学知识、数学思想和方法又都是高中数学《数学大纲》和《课程标准》上要求掌握的概念、公式、定理等基础知识和方法，体现了新课程中“发展考生的数学应用意识”.所以，在备考复习中，我们一定要加强对函数应用意识的培养和训练，对试题所提供的信息资料进行观察、阅读、归纳、整理和分析，并与熟悉的函数模型相比较，先确定函数的种类，再利用相关的函数知识将实际问题转化成数学问题解决，最后对实际问题进行总结作答.

3. 理解函数与导数在其他数学知识中的渗透与整合.高考试题既重视考查数学基础知识和基本技能，又能够考查考生继续学习所必需具备的数学素养和潜能.函数与导数作为高中数学的核心内容，常常与其它知识结合起来，形成层次丰富的各类综合题，成为高考试卷中的把关题和压轴题，为考生提供了一个能力竞争的平台.因此，在备考复习中，一定要把基本的初等函数知识与三角、数列、不等式、方程等知识交叉和融合，还要渗透到解析几何、立体几何问题中，充分认识和利用导数的工具性作用，构建知识网络，全面提高解决综合性问题的能力.

限时训练

1. 已知函数[f（x）=（3a2-2a）?2x]在定义域内单调递减，[f ′（x）]是函数[f（x）]的导数，且[f ′（0）=ln4]，则a的值为 （ ）

A. [-12] B. 2

C. [-12]或2 D. 不存在

2. 函数y=f（x）在区间[a，b]上的最大值是M，最小值是m，若M=m，则f′（x） （ ）

A. 等于0 B. 大于0

C. 小于0 D. 以上都有可能

3. 设函数[f（x）=x-ax-1]，集合M=[{x|f（x）0}]，若M?P，则实数a的取值范围是 （ ）

A. （-∞，1） B. （0，1）

C. （1，+∞） D. [1，+∞）

4. 已知函数y=-x2-2x+3在[a，2]上的最大值为[154]，则a等于（ ）

A. -[32] B. [12]

C. - [12] D. [12]或-[32]

5. 设函数fn（x）=n2x2（1-x）n（n为正整数），则fn（x）在[0，1]上的最大值为 （ ）

A. 0 B. 1

C. [（1-22+n）n] D. [4（nn+2）n+1]

6. 已知函数[f（x）=x3+ax2+bx+c]，下列结论中错误的是 （ ）

A. [?x0∈R]，[f（x0）=0]

B. 函数[y=f（x）]的图象是中心对称图形

C. 若[x0]是[f（x）]的极小值点，则[f（x）]在区间（[-∞]，[x0]）上单调递减

D. 若[x0]是[f（x）]的极值点，则[f ′（x0）=0]

7. 若函数f（x）=x3-12x在区间（k-1，k+1）上不是单调函数，则实数k的取值范围是 （ ）

A. k≤-3或-1≤k≤1或k≥3

B. -3

C. -2

D. 不存在这样的实数

8. 对任意的x∈R，函数f（x）=x3+ax2+7ax不存在极值点的充要条件是（ ）

A. 0≤a≤21 B. a=0或a=7

C. a21 D. a=0或a=21

9. 设f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x0，且g（-3）=0，则不等式f（x）g（x）

A. （-3，0）∪（3，+∞） B. （-3，0）∪（0，3）

C. （-∞，-3）∪（3，+∞） D. （-∞，-3）∪（0，3）

10.设函数[fx满足x2f ′x+2xfx=exx，f2=e28，][则x>0时，fx] （ ）

A. 有极大值，无极小值

B. 有极小值，无极大值

C. 既有极大值又有极小值

D. 既无极大值也无极小值

11. 函数f（x）=5-36x+3x2+4x3在区间[-2，+∞）上的最大值 ，最小值为 .

12. 函数f（x）的定义域为R，f（-1）=2，对任意x∈R，f′（x）>2，则f（x）>2x+4的解集为 .

13. 已知方程ex-2x+a=0有零点，则a的取值范围是 .

14.在平面直角坐标系[xOy]中，已知点P是函数[f（x）=ex（x>0）]的图象上的动点，该图象在P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是 .

15. 设函数f（x）=ln（2x+3）+x2.求f（x）在区间[-34，14]上的最大值和最小值.

16. 设f（x）=2x3+ax2+bx+1的导数为f′（x），若函数y=f′（x）的图象关于直线[x=-12]对称，且f′（1）=0.

（1）求实数a，b的值；

（2）求函数f（x）的极值.

17.对于三次函数[f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）]，定义：设[f ″（x）]是函数[y=f（x）]的导函数[y=f ′（x）]的导数，若[f ″（x）=0]有实数解[x0]，则称点（[x0]，[f（x0）]）为函数[y=f（x）]的“拐点”.现已知[f（x）=x3-3x2+2x-2]，请解答下列问题：

（1）求函数[f（x）]的“拐点”A的坐标；

（2）求证[f（x）]的图象关于“拐点”A对称；并写出对于任意的三次函数都成立的有关“拐点”的一个结论（此结论不要求证明）.

18. 已知函数[f（x）=xlnx].

（1）求[f（x）]的最小值；

（2）若对所有[x≥1]都有[f（x）≥ax-1]，求实数a的取值范围.