乘积函数的对称性问题

a摘要： 本文研究了形如g(x)=f(a+wx)•f(b-wx)的两个函数乘积的对称性问题，证明了函数g(x)关于直线x= 对称。

关键词： 乘积函数 对称性

一、引言

函数的对称性是函数很重要的一个性质，最基本的对称性是函数的奇偶性。关于函数的对称性，已经有很多的结论，但是对于形如g(x)=f(a+wx)•f(b-wx)的函数的对称性还未见有研究。

在我校高三2007年十月份的考题中有下面的一道题：

方程f(x+3)•f(1-x)=0有五个不相等的实数根，则这五根之和为( )。

A10B5 C -10D -5

对称性的问题教师讲得很多，学生也很熟悉，但是本题学生做对的很少。本题解法很多，下面是其中两种解法：

解法一：

假如x=a时，f(x+3)=0,可知即f(a+3)=0，由f(a+3)=f［1-(-2-a)］=0知道x=-2-a也是这个方程的一个解。所以可知这个方程的解是成对出现的，就是说f(x+3)若有某解，则可以推出f(1-x)有一个另外的解。而且这两个解的和是a+(-2-a)=-2，但是题目要求这个方程有5个不相等的实根，因为5是奇数，与“成对”有点小矛盾，所以可以知道，其实是因为f(x+3)=0与f(1-x)=0的一个根重复了。这个方程本来有6个根，但是重复了一个，所以只剩下5个了。 （为什么不是3个根、5个根重复呢?因为y=x+3与y=1-x是两条直线，只能有一个交点。）可以联立方程x+3=1-x,得到重根是x=-1。因为一对根（2个）的和是-2，所以6个根的和是-6。但是少了一个重根x=-1，所以结果5个不相等的实数根的和是-6-(-1)=-5。

解法二：

令g(x)=f(x+3)•f(1-x)，则g(-x-2)=f(-x-2+3)•f(1-(-x-2))=f(1-x)•f(x+3)=g(x),从而g(-1+x)=g(-1-x)，即函数g(x)关于直线x=-1对称，从而五根之和为-5。

二、主要结果

上述解法二可以推广到一般的情况，即有下面的结果：

定理1：函数f(a+x)•f(b-x)关于直线x= 对称，其中a,b为已知参数。

证明：令g(x)=f(a+x)•f(b-x)，则

g( +x)=f(a+ +x)•f(b-( +x))=f( +x)•f( -x)

g( -x)=f(a+ -x)•f(b-( -x))=f( -x)•f( +x)

所以g( +x)=g( -x)

g(x)关于直线x= 对称。

更一般的，有下面的结果：

定理2：函数f(a+wx)•f(b-wx)关于直线x= 对称，其中a,b,w为已知参数。

证明：令h(x)=f(a+wx)•f(b-wx)，则

h( +x)=f(a+w( +x))•f(b-w( +x))

=f( +wx)•f( -wx)

h( -x)=f(a+w( -x))•f(b-w( -x))

=f( -wx)•f( +wx)

所以h( +x)=h( -x)

h(x)关于直线x= 对称。

结合一中给出的考题，我们也可以得到如下的结果：

定理3：方程f(a+wx)•f(b-wx)=0（a,b,w为已知参数），则在任意以 为对称中心的闭区间上：

(1) 若f( )≠0，方程要么无实根，要么有2n(n∈N )个不同的实数根，且这2n个实根之和为2n• ；

(2) 若f( )=0，方程有2n+1(n∈N )个不同的实数根，且这个实根之和为(2n+1)• 。

参考文献：

［1］刘培杰.新编中学数学解题方法全书高中版上卷.哈尔滨工业大学出版社，2006.11.

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”

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