关于分式方程解决实际问题的思考

应用分式方程解决实际问题并不难，只是有相当一部分学生对之前学习的一元一次方程和二元一次方程组的实际应用有畏惧感，导致一看到应用题就害怕。很多学生从心理上很排斥应用题，这就对学习分式方程的实际应用造成了一定的困难。

要缓解这一矛盾，首先要学生学会进行数学阅读。其实，自从我们开始学习数学，就从来没有离开过数学阅读，不仅离不开，而且势必在先，它是学习数学的敲门砖，是数学素养和智力腾飞的翅膀。我在实践中发现，很多学生把数学当作语文、英语一样来阅读，那是因为他们不了解数学阅读的特殊性，结果书读百遍，其意却没有自现。其实，数学阅读有它较为特殊的方法和技巧。教师要教学生如何阅读数学中的实际问题，就是教数学阅读的思想和方法。

通常数学中的应用问题都是从实际出发，为给学生创造一个实际情境，有很多描述性的语言，而这些语句在做题时都是些无关紧要的话。因此，教师应该带领学生一起阅读，对哪些为了创设情境的语句进行删减，或将繁琐冗长的描述性语句简练，使学生会用通俗的语言把应用题的大致内容描述出来。通过这样的方法描述出的题目，学生便会很容易找到题目中量的关系。

例：南水北调东线工程已经开工，某施工单位准备对一段长2240米的河堤进行加固。由于采用新的加固模式，现在计划每天加固的长度比原计划增加了20米，因而完成河堤加固工程所需天数比原计划缩短2天，则现在每天加固河堤多少米？

读题，可发现一条长2240米的河堤需加固，有原计划和实际两种方案，现实际每天比原计划多了20米，时间缩短2天。因此，将描述性语句去掉后，将此题改为较好理解的形式为：“一段长2240米的运河河堤，现在每天加固的长度比原计划增加20米，所需天数比原计划短2天，求现在每天加固的长度。”为方便学生做题，可让学生用铅笔将题目中的描述性语句划去，明确所求，即实际工作效率。

其次，初步通读简化，把握整体脉络后，鼓励学生有针对性地阅读，找出题目中提到的“量”，以及各个量之间的关系。

题目简化完后，找出题目中有几个量。一般情况下，分式方程的实际应用都是三个量，将这三个量的关系式写在题目旁边。同样以上题为例，此题中的三个量是：工作总量s，工作效率v，工作时间t。这三者之间的关系式：工作总量=工作效率*工作时间，即s=vt。通过这三个量之间关系的转化可以得到：工作效率=工作总量/工作时间，工作时间=工作总量/工作效率。其中工作总量为2240米的河堤，这个在此题中不管是原计划还是实际都是不变的量，即已知。而原计划与实际的工作效率v和工作时间t都是未知的，但是都有一定的关系。由“现在每天加固的长度比原计划增加20米”可知：v（现）=v（原）+20。又由“所需天数比原计划短2天”可知：t（现)=t（原)-2，由于效率高了，同样的工作总量，时间就会缩短，这是符合实际情况的。

最后，根据三个量之间的关系和题意列出方程。

思考方式一：一个已知量，两个未知量：其中一个未知量设未知数，则根据题目中给的另一个未知量的关系列方程。

情况一：设工作效率，根据实际工作时间与原计划工作时间的关系列方程。

（1）若设原计划的工作效率为x米/天。根据实际与原计划的工作时间的关系列方程，即t（现）=t（原）-2，则有■=■-2。需要注意的是：（x+20）才是我们所要求的。

（2）若设现实际的工作效率为x米/天。根据实际和原计划的工作时间的关系列方程，即t（现）=t（原）-2，则有■+2=■。这里求出的x就是所求。

情况二：设工作时间，由实际工作效率与原计划工作效率的关系列方程。

设原计划需要x天。根据实际与原计划的工作效率的关系列方程，由v（现）=v（原）+20，则有■+20=■。这里求出x之后，需把2240/（x-2)才是所求的解。

设现实际需要x天。根据实际与原计划的工作效率的关系列方程，由v（现）=v（原）+20，则有■=■+20。这里求出x之后，需把2240/x才是所求的解。

以上两种情况是找同一个量在两种情况下的关系，即实际工作效率=原计划工作效率+20；实际工作时间=原计划工作时间-2，以及变形列出方程的的方法比较容易想到。

思考方式二：可以用两个公式表示：原计划工作总量=原计划工作效率*原计划工作时间；实际工作总量=实际工作效率*实际工作时间。下面，我们也用表格的形式观察分析。

情况一：设原计划工作效率为x米/天时，实际工作效率为（x+20）米/天,原计划工作时间=原计划工作总量/原计划工作效率。即■，则实际工作时间=原计划工作时间-2，即■=-2。

再根据实际工作总量=实际工作效率*实际工作时间，可以得到：（x+20)×（■-2)=2240，求出x的值，带入■-2求所要求的值。

情况二：设原计划的时间为x天，根据实际工作总量=实际工作效率×实际工作时间，可以得到：（x-20)×（■+20)=2240，求出x的值，代入■-２求所要求的值。

这样的方法得到一个方程，通过化简后得到一个一元二次方程，现阶段我们无法求解，我们只是学习它的思考方式。

总之，分式方程的实际应用一般有三个量，两个未知量中一个设未知数，我们可以找同一个量在两种情况下的关系（例v现=v原+20）列方程，如思考方式一的方法。我们也可以找一种情况下三个量的关系（例实际工作总量=实际工作效率*实际工作时间）来列方程，如思考方式二。当然，对于这道题来说，情况一中的（2）比较简单一点，其余的三种方法比较繁琐，不能直接求出答案。需要注意的是：大部分分式方程的题都有这两种分析方法。因此，当引导学生发现这种规律后，练习每道题都让学生试着用这两种思路（变形类除外）去解。

从认知心理学看，数学学习是每个学生在各自不同的数学世界里，主动进行分析、吸收的过程。数学教师在课堂教学中，不应急于一下子把方程原理告诉学生，否则学生只会忙于“收拾”，而应该精心设计问题，引导学生思考，有效进行训练，使学生在探索思维中，找到规律逐渐消除在心理上的排斥，提高自主学习的能力，把“教会学生”改为“教慧学生”。

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