函数最值得求解的方法

2019-01-22 版权声明 举报文章

函数最值得求解的方法

函数最值的讨论是高中数学的难点,类型多且比较灵活,因而在高考当中较容易失分,所以把握好类型与解决方法是处理好这类问题的关键。

一 求函数最值的常用方法有:

1.配方法:将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和,然后根据变量的取值范围确定函数的最值.形如 的函数值域均可用此法,要特别注意自变量的范围.

2分离常数法:将函数解析式化成含有一个常数和含有 的表达式,利用自变量取值范围确定表达式取值范围。形如 的函数的值域,均可以使用此法,此外这种函数的值域也可以利用反函数法,利用反函数的定义域进行值域的求解。

3.判别式法:把函数转化成关于的二次方程 ,通过方程有实根,判别式 ,从而求得原函数的值域。形如 的函数的值域常用此法解决。

注意事项:①函数定义域为R;②分子、分母没有公因式。

4.不等式法:利用基本不等式取等号确定函数的最值,常用不等式有:

① 当且仅当a = b时,“=”号成立;

② 当且仅当a = b时,“=”号成立;

③ 当且仅当a = b = c时,“=”号成立;

④ ,当且仅当a = b = c时,“=”号成立.

注意事项:①基本不等式求最值时一定要注意应用的条件是“一正二定三等”.

②熟悉一个重要的不等式链:

5.换元法:运用代数或者三角代换,将所给函数化成值域容易确定的另一函数,从而求得原函数的值域。形如 的函数等常用此法解决.

注意事项:换元法使用时一定要注意新变元的取值范围.

6.数形结合法:当一个函数图象较容易作出时,通过图像可以求出其值域和最值;或利用函数所表示的几何意义,借助几何方法求出函数的值域。例如距离、斜率等.

7.函数的单调性法:确定函数在定义域(或某个定义域的子集)上的单调性以求出函数的值域.例如形如 的函数, 的函数等.

注意事项:1 函数单调性问题必须先在讨论定义域条件下进行。

2函数的单调性的判断方法有定义法,导数判断法等方法。

二 函数最值求解例析

例1 求下列函数的值域:

解:(1)方法一(分离常数法)由 知 ,

所以函数值域为

方法二(反函数法)由 ,得 ,所以 即

所以函数值域为

(2)方法一(换元法)设 ,得 ,

方法二(函数单调性法)

注:函数 的单调性也可以用导数法进行判断( ).

(3)方法一(判别式法)

,

所以函数值域为 。

方法二(不等式法)

(4)方法一(基本不等式法)

由 得

即 或 ,所以函数的值域为

方法二(判别式法)

由 得 。

[文秘站:] 方程有实根,

解得 或 ,所以函数的值域为

方法三(函数单调性法)由 得

所以当 和 时, 所以函数在 和 上是减少的,

当 和 时, 所以函数在 和 上是增加的,

所以

所以函数的值域为

注:函数 图象及性质

(1)函数 图象:

(2)函数 性质:

①值域: ;

②单调递增区间: , ;

单调递减区间: , .

例2对 ,记 ,函数 的最小值是( )

A C D

解法一(图像法):

函数 的图像如图所示,由图像可得,其最小值为 。[来源:Z,__,]

解法二(零点分区间讨论法):

当x﹣x﹣1;

当﹣1≤x< 时,|x+1|=x+1,|x﹣2|=2﹣x, x+1

当x≥2时,|x+1|=x+1,|x﹣2|=x﹣2, x+1>x﹣2;

故 ,故函数最小值为 .

例3 设函数 ,求 在区间 上的最大值 和最小值 。

解:(函数单调性法)

由于 ,所以 ,

由 得: ;由 得: ,

所以函数 在区间 上是减少的;在区间 上是增加的。又由于

所以: ,

三 训练

1 下列函数中,值域是(0,+∞)的是( )

A、 B、

C、y=x2+x+1 D、

2 函数 的值域是( )

A、(﹣∞,﹣1) B、(﹣∞,0)∪(0,+∞)

C、(﹣1,+∞) D、(﹣∞,﹣1)∪(0,+∞)

3 函数 的值域是

4 函数 的值域为

5 函数 的最大值是 ,最小值是

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