时间:2022-01-22 07:21:05
函数最值的讨论是高中数学的难点,类型多且比较灵活,因而在高考当中较容易失分,所以把握好类型与解决方法是处理好这类问题的关键。
一 求函数最值的常用方法有:
1.配方法:将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和,然后根据变量的取值范围确定函数的最值.形如 的函数值域均可用此法,要特别注意自变量的范围.
2分离常数法:将函数解析式化成含有一个常数和含有 的表达式,利用自变量取值范围确定表达式取值范围。形如 的函数的值域,均可以使用此法,此外这种函数的值域也可以利用反函数法,利用反函数的定义域进行值域的求解。
3.判别式法:把函数转化成关于的二次方程 ,通过方程有实根,判别式 ,从而求得原函数的值域。形如 的函数的值域常用此法解决。
注意事项:①函数定义域为R;②分子、分母没有公因式。
4.不等式法:利用基本不等式取等号确定函数的最值,常用不等式有:
① 当且仅当a = b时,“=”号成立;
② 当且仅当a = b时,“=”号成立;
③ 当且仅当a = b = c时,“=”号成立;
④ ,当且仅当a = b = c时,“=”号成立.
注意事项:①基本不等式求最值时一定要注意应用的条件是“一正二定三等”.
②熟悉一个重要的不等式链:
5.换元法:运用代数或者三角代换,将所给函数化成值域容易确定的另一函数,从而求得原函数的值域。形如 的函数等常用此法解决.
注意事项:换元法使用时一定要注意新变元的取值范围.
6.数形结合法:当一个函数图象较容易作出时,通过图像可以求出其值域和最值;或利用函数所表示的几何意义,借助几何方法求出函数的值域。例如距离、斜率等.
7.函数的单调性法:确定函数在定义域(或某个定义域的子集)上的单调性以求出函数的值域.例如形如 的函数, 的函数等.
注意事项:1 函数单调性问题必须先在讨论定义域条件下进行。
2函数的单调性的判断方法有定义法,导数判断法等方法。
二 函数最值求解例析
例1 求下列函数的值域:
解:(1)方法一(分离常数法)由 知 ,
所以函数值域为
方法二(反函数法)由 ,得 ,所以 即
所以函数值域为
(2)方法一(换元法)设 ,得 ,
方法二(函数单调性法)
注:函数 的单调性也可以用导数法进行判断( ).
(3)方法一(判别式法)
。
,
所以函数值域为 。
方法二(不等式法)
。
(4)方法一(基本不等式法)
由 得
即 或 ,所以函数的值域为
方法二(判别式法)
由 得 。
[文秘站:] 方程有实根,
解得 或 ,所以函数的值域为
方法三(函数单调性法)由 得
所以当 和 时, 所以函数在 和 上是减少的,
当 和 时, 所以函数在 和 上是增加的,
所以
所以函数的值域为
注:函数 图象及性质
(1)函数 图象:
(2)函数 性质:
①值域: ;
②单调递增区间: , ;
单调递减区间: , .
例2对 ,记 ,函数 的最小值是( )
A C D
解法一(图像法):
函数 的图像如图所示,由图像可得,其最小值为 。[来源:Z,__,]
解法二(零点分区间讨论法):
当x﹣x﹣1;
当﹣1≤x< 时,|x+1|=x+1,|x﹣2|=2﹣x, x+1
当
当x≥2时,|x+1|=x+1,|x﹣2|=x﹣2, x+1>x﹣2;
故 ,故函数最小值为 .
例3 设函数 ,求 在区间 上的最大值 和最小值 。
解:(函数单调性法)
由于 ,所以 ,
由 得: ;由 得: ,
所以函数 在区间 上是减少的;在区间 上是增加的。又由于
所以: ,
三 训练
1 下列函数中,值域是(0,+∞)的是( )
A、 B、
C、y=x2+x+1 D、
2 函数 的值域是( )
A、(﹣∞,﹣1) B、(﹣∞,0)∪(0,+∞)
C、(﹣1,+∞) D、(﹣∞,﹣1)∪(0,+∞)
3 函数 的值域是
4 函数 的值域为
5 函数 的最大值是 ,最小值是