对一道测试题的错解剖析与拓展

圆锥曲线在高考中是必考的解答题，解题过程中往往会遇到大量的代数运算，因此在平时的解题过程中，我们一般会结合圆锥曲线的定义和平面几何性质去解题，可以大大减少计算量，提高解题效率．这是好事，但如果对图中的所有可能情形考虑不全，有时就会适得其反．下面以一道测试题为例，希望引起同学们的关注．

从双曲线－=1（a＞0，b＞0）的左焦点F引圆x2+y2=a2的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于点P，若M线段FP的中点，O为坐标原点，则MO－MT与b－a的关系为（ ）

A． MO-MT＞b－a

B． MO－MT=b－a

C． MO－MT＜b－a

D． 不确定

图1

错解 设双曲线的右焦点为F2，连结OM和PF2，由M为线段FP的中点和O为两焦点FF2的中点得MO=PF2 ． 由FP的中点M在切点T的右侧得MT=MF-FT=PF-FT，故MO－MT=PF2-PF-FT=（PF2-PF）+FT． 由双曲线的定义和P在右支上知PF2-PF=－2a，由相切得在直角三角形FTO中，FT===b，所以MO-MT=（－2a）+b=b-a. 故此题选B．

剖析 上面的思路是：由中点M想到O是两焦点的中点，利用三角形中位线这一平面几何性质和双曲线的定义求解，这样做确实很简单，几乎没有计算量． 这可能是许多高中数学教师的想法，也可能是命题人的意图． 但是我们注意到这个选择题中有答案D：不确定，所以我们自然会提出问题：由给出的图知线段FP的中点M在切点T的右侧，那么一定在右侧吗？可不可以在左侧？可不可以重合？结果又会怎样呢？

①当线段FP的中点M在切点T的右侧时，如图1所示：上面已求得MO-MT=b-a.

②当线段FP的中点M在切点T的左侧时，如图2所示：

MO=PF2不变，FT=b不变，发现MT=FT-MF=FT-PF变了，此时MO- MT=PF2-FT-PF=（PF2+PF）-FT=（PF2+PF）-b，由双曲线的定义和P在右支上知PF=PF2+2a，此时MO-MT=（PF2+PF2+2a）-b=PF2+a-b，无法确定和b-a的大小关系． 好像进入了死胡同，但是当我们回过来看一下此种情形时，MO=PF2，MT=b-PF，我们感觉要想利用双曲线的定义，计算MO-MT肯定不好，最好计算MO+MT，此时MO+MT=b+（PF2-PF）=b+（－2a）=b-a，到此结果水落石处，显然所求的MO-MT＜MO+MT，即MO-MT＜b-a．

③当线段FP的中点M和切点T重合时，如图3所示：结果如何呢？

我们可能会犯习惯性思维的错误，认为MO-MT＞b-a，果真如此吗？我们来看一下，MO=OT=a，MT=0，此时MO-MT=a． 由M为线段FP的中点和O为FF2的中点得MO=PF2，即PF2=2a． 又PF=2FM=2b，由双曲线的定义和P在右支上知PF-PF2=2a，即2b-2a=2a，即b-a=a，所以此时MO-MT=b-a．

综上，此题选D．

点评 1. 由中点M想到O是两焦点的中点，利用三角形中位线这一平面几何性质和双曲线的定义求解，这确实是一个好的解题思路，但容易漏掉后面两种情形，特别是处理第2种情形时其思维跨度比较大．

2. 因为这是一个选择题，所以有另一种解法：

看到MO-MT，易想到三角形MTO中两边之差的绝对值小于第三边，从而有MO-MT≤TO，即MO-MT≤a（当且仅当M和T重合时取“=”）． 我们可以先看M和T重合时，易得b=2a，MO-MT=b-a；因为答案D为不确定，所以还得再看M和T不重合的情形，b≠2a，即b＞2a或b＜2a，而当b＞2a时，b-a＞a，因为MO－MT＜a，所以此时MO-MT＜b-a． 到此显然选D．

拓展1 从双曲线－=1（a＞0，b＞0）的左焦点F引圆x2+y2=a2的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于点P，若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则MO－MT的值是____．

分析一 由中点M想到O是两焦点的中点，利用三角形中位线这一平面几何性质和双曲线的定义进行求解．

解法一 ①当线段FP的中点M在切点T的右侧时，上面已求得MO-MT=b-a. （直角三角形中，斜边MO＞直角边MT，得MO-MT＞0，即b＞a；由三角形中两边之差的绝对值小于第三边得MO-MT＜TO，即b-a＜a，即b＜2a，故此时a＜b＜2a）

②当线段FP的中点M和切点T重合时，上面已求得MO-MT=b-a.（b=2a）

③当线段FP的中点M在切点T的左侧时，由上面得到MO+MT=b-a，发现在直角三角形MTO中MO2－MT2=TO2=a2，从而MO-MT==． （由直角三角形中斜边MO＞直角边MT得MO-MT＞0，即＞0，即b＞a；由三角形中两边之差的绝对值小于第三边得MO-MT＜TO，即＜a，即b＞2a，所以此时b＞2a）

综上：当线段FP的中点M在切点T的左侧，即b＞2a时，MO-MT=；当线段FP的中点M在切点T的右侧，即a＜b＜2a时，MO-MT=b-a；当线段FP的中点M和切点T重合，即b=2a时，MO-MT=b-a．

分析二 在直角三角形MTO中，已知一直角边TO=a，要求的是斜边MO减去另一直角边MT，只要求出其中一个，另一个由勾股定理求之． 求MO，就是求PF2，可在PF2F中由余弦定理求解．

解法二 在RtFTO中，cos∠TFO==． 在PF2F中，设PF2=x，则PF=x+2a，FF2=2c，由余弦定理得cos∠PFF2==，化简得（b-a）x=a2+c2－2ab，将c2=a2+b2代入得（b-a）x=2a2+b2－2ab=a2+（b－a）2（显然b-a>0，若b-a≤0，上述方程无解），故x==b－a+． MO=PF2=x=b－a+，在RtMTO 中，TO=a，由勾股定理得MT=====（b－a）－=（b－a）－（b>2a），－（b－a）（a

综上，当b＞2a时，MO-MT=；当a＜b≤2a时，MO-MT=b-a．

点评 解法一虽然简单，但容易漏掉其他情形且点M在左侧时的处理方法很难想到；解法二虽然计算量相对大一点，但比较保险、全面．另外由上面的两种解法容易得到以下两个命题．

拓展2 从双曲线－=1（a＞0，b＞0）的左焦点F引圆x2+y2=a2的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于点P，若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则MO+MT与b－a的关系为（ ）

A． MO+MT＞b－a

B． MO+MT=b－a

C． MO+MT＜b－a

D． 不确定

提示 参考上面测试题的两种解法均可得答案D． 具体大小关系如下：当线段FP的中点M和切点T重合或在左侧时：MO+MT=b-a；当线段FP的中点M在切点T的右侧时：MO+MT＞b-a．

拓展3 从双曲线－=1（a＞0，b＞0）的左焦点F引圆x2+y2=a2的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于点P，若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则MO+MT的值是____．

提示 参考上面拓展1的两种解法均可得：当线段FP的中点M在切点T的左侧，即b＞2a时，MO+MT=b-a；当线段FP的中点M在切点T的右侧，即a＜b＜2a时，MO+MT=；当线段FP的中点M和切点T重合，即b=2a时，MO+MT=b-a．

反思 在高考模拟题或预测题中，命题者确实给我们提供了不少考查思维能力的好题，如上面的测试题和拓展题． 对此，我们不能只局限于参考答案，做一做差不多就行了，而要提通过思维的创造将隐蔽的联系公开化，也就是多给自己一点时间去思考，从多个角度去分析问题，多跟其他同学交流，多给自己一点时间去反思、总结，也许问题就会解决得比较简洁、透彻和完美了．